名校
1 . 甲乙两人参加知识竞赛活动,比赛规则如下:两人轮流随机抽题作答,答对积1分且对方不得分,答错不得分且对方积1分,然后换对方抽题作答,直到有领先2分者晋级,比赛结束.已知甲答对题目的概率为,乙答对题目的概率为P,答对与否相互独立,抽签决定首次答题方,已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.
(1)求P;
(2)当时,求甲得分X的分布列及数学期望;
(3)若答题的总次数为n时,甲晋级的概率为,证明:.
(1)求P;
(2)当时,求甲得分X的分布列及数学期望;
(3)若答题的总次数为n时,甲晋级的概率为,证明:.
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2024-06-18更新
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275次组卷
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2卷引用:山东省菏泽市2024届高三下学期二模数学试题
名校
解题方法
2 . 2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识,大学举办了一次奥运知识竞赛,竞赛分为初赛与决赛,初赛通过后才能参加决赛.
(1)初赛从6道题中任选2题作答,2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题,记小王在初赛中答对的题目个数为,求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下,仍未进入决赛的概率;
(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩,对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下:已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次,中奖1次奖励120元,中奖2次奖励180元,中奖3次奖励360元,若3次均未中奖,则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为,且每次是否中奖相互独立.记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为,求的极大值.
(1)初赛从6道题中任选2题作答,2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题,记小王在初赛中答对的题目个数为,求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下,仍未进入决赛的概率;
(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩,对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下:已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次,中奖1次奖励120元,中奖2次奖励180元,中奖3次奖励360元,若3次均未中奖,则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为,且每次是否中奖相互独立.记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为,求的极大值.
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3 . 11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为,乙发球时甲得分的概率为,各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后,甲先发球.
(1)求再打2球该局比赛结束的概率;
(2)两人又打了个球该局比赛结束,求的数学期望;
(3)若将规则改为“打成平后,每球交换发球权,先连得两分者获胜”,求该局比赛甲获胜的概率.
(1)求再打2球该局比赛结束的概率;
(2)两人又打了个球该局比赛结束,求的数学期望;
(3)若将规则改为“打成平后,每球交换发球权,先连得两分者获胜”,求该局比赛甲获胜的概率.
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名校
4 . 已知常数,在成功的概率为的伯努利试验中,记为首次成功时所需的试验次数,的取值为所有正整数,此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.
(1)对于正整数,求,并根据,求;
(2)对于几何分布的拓展问题,在成功的概率为的伯努利试验中,记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为,现提供一种求的方式:先进行第一次试验,若第一次试验失败,因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助,可以认为后续期望仍是,即总的试验次数为;若第一次试验成功,则进行第二次试验,当第二次试验成功时,试验停止,此时试验次数为2,若第二次试验失败,相当于重新试验,此时总的试验次数为.
(i)求;
(ii)记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为,求.
(1)对于正整数,求,并根据,求;
(2)对于几何分布的拓展问题,在成功的概率为的伯努利试验中,记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为,现提供一种求的方式:先进行第一次试验,若第一次试验失败,因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助,可以认为后续期望仍是,即总的试验次数为;若第一次试验成功,则进行第二次试验,当第二次试验成功时,试验停止,此时试验次数为2,若第二次试验失败,相当于重新试验,此时总的试验次数为.
(i)求;
(ii)记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为,求.
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2024-04-26更新
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2326次组卷
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4卷引用:2024届山东省五莲县第一中学高考模拟(二)数学试题
名校
解题方法
5 . 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中,粒子从原点出发,每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位,且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末,粒子会等可能地出现在四点处.
(1)设粒子在第2秒末移动到点,记的取值为随机变量 ,求 的分布列和数学期望;
(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.
(i)已知 求 以及;
(ii)令,记为数列的前项和,若对任意实数,存在,使得,则称粒子是常返的.已知 证明:该粒子是常返的.
(1)设粒子在第2秒末移动到点,记的取值为随机变量 ,求 的分布列和数学期望;
(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.
(i)已知 求 以及;
(ii)令,记为数列的前项和,若对任意实数,存在,使得,则称粒子是常返的.已知 证明:该粒子是常返的.
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2024-04-24更新
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2025次组卷
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5卷引用:山东省济南市名校考试联盟2024届高三下学期4月高考模拟数学试题
山东省济南市名校考试联盟2024届高三下学期4月高考模拟数学试题(已下线)压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题(已下线)专题02 高二下期末真题精选(压轴题 )-高二期末考点大串讲(人教A版2019)(已下线)概率、随机变量及其分布-综合测试卷B卷
名校
6 . 甲、乙两人进行知识问答比赛,共有道抢答题,甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为和,各题答题相互独立.规则为:初始双方均为0分,答对一题得1分,答错一题得﹣1分,未抢到题得0分,最后累计总分多的人获胜.
(1)若,,求甲获胜的概率;
(2)若,设甲第题的得分为随机变量,一次比赛中得到的一组观测值,如下表.现利用统计方法来估计的值:
①设随机变量,若以观测值的均值作为的数学期望,请以此求出的估计值;
②设随机变量取到观测值的概率为,即;在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大,随着的变化,用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求.
表1:甲得分的一组观测值.
附:若随机变量,的期望,都存在,则.
(1)若,,求甲获胜的概率;
(2)若,设甲第题的得分为随机变量,一次比赛中得到的一组观测值,如下表.现利用统计方法来估计的值:
①设随机变量,若以观测值的均值作为的数学期望,请以此求出的估计值;
②设随机变量取到观测值的概率为,即;在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大,随着的变化,用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求.
题目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
得分 | 1 | 0 | 0 | ﹣1 | 1 | 1 | ﹣1 | 0 | 0 | 0 |
题目 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
得分 | ﹣1 | 0 | 1 | 1 | ﹣1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
附:若随机变量,的期望,都存在,则.
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2024-04-19更新
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2792次组卷
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8卷引用:山东省青岛第二中学2024届高三下学期二模考试数学试题
山东省青岛第二中学2024届高三下学期二模考试数学试题浙江省天域全国名校协作体2023-2024学年高三二模数学试题(已下线)数学(江苏专用02)河北省重点高中2024届高三下学期5月模拟考试数学试题(一)(已下线)模块4 二模重组卷 第6套 全真模拟卷江苏省苏州实验中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题广东省广州市执信中学2024届高三下学期教学情况检测(三)数学试题(已下线)专题03 第七章 随机变量及其分布列--高二期末考点大串讲(人教A版2019)
解题方法
7 . 乒乓球起源于英国的19世纪末,因为1959年的世界乒乓球锦标赛,中国参赛运动员为中国获得了第一个世界冠军,而使国人振奋,从此乒乓球运动在中国风靡,成为了事实上中国的国球的体育项目.国球在校园中的普及也丰富了老师、同学们的业余生活.某校拟从5名优秀乒乓球爱好者中抽选人员分批次参加社区共建活动.共建活动共分3批次进行,每次活动需要同时派送2名选手,且每次派送选手均从5人中随机抽选.已知这5名选手中,2人有比赛经验,3人没有比赛经验.
(1)求5名选手中的“1号选手”,在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率;
(2)求第二次抽选时,选到没有比赛经验的选手的人数最有可能是几人?请说明理由;
(3)现在需要2名乒乓球选手完成某项特殊比赛任务,每次只能派一个人,且每个人只派一次,如果前一位选手不能赢得比赛,则再派另一位选手.若有A、两位选手可派,他们各自完成任务的概率分别为、,且,各人能否完成任务相互独立.试分析以怎样的顺序派出选手,可使所需派出选手的人员数目的数学期望达到最小.
(1)求5名选手中的“1号选手”,在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率;
(2)求第二次抽选时,选到没有比赛经验的选手的人数最有可能是几人?请说明理由;
(3)现在需要2名乒乓球选手完成某项特殊比赛任务,每次只能派一个人,且每个人只派一次,如果前一位选手不能赢得比赛,则再派另一位选手.若有A、两位选手可派,他们各自完成任务的概率分别为、,且,各人能否完成任务相互独立.试分析以怎样的顺序派出选手,可使所需派出选手的人员数目的数学期望达到最小.
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名校
8 . 为了解居民体育锻炼情况,某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄,得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年,年龄在的锻炼者称为中年,每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低,不低于3次的称为体育锻炼频率高,根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联;
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中,按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样,抽取8人,再从这8人中随机抽取3人,记这3人中年龄在与的人数分别为,求ξ的分布列与期望;
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼,且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种,已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目,如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球,则星期天选择跑步的概率分别为 ,求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式:
附:
年龄 次数 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60] |
每周0~2次 | 70 | 55 | 36 | 59 |
每周3~4次 | 25 | 40 | 44 | 31 |
每周5次及以上 | 5 | 5 | 20 | 10 |
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年,年龄在的锻炼者称为中年,每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低,不低于3次的称为体育锻炼频率高,根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联;
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中,按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样,抽取8人,再从这8人中随机抽取3人,记这3人中年龄在与的人数分别为,求ξ的分布列与期望;
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼,且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种,已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目,如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球,则星期天选择跑步的概率分别为 ,求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式:
附:
α | 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2024-03-10更新
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1852次组卷
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5卷引用:山东省淄博市2024届高三下学期一模考试数学试题
山东省淄博市2024届高三下学期一模考试数学试题(已下线)【一题多变】 分类变量 独立检验(已下线)第9章 统计单元综合能力测试卷-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练(苏教版2019选择性必修第二册)(已下线)专题10.1 概率与统计的综合运用【十一大题型】(举一反三)(新高考专用)-2辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
名校
解题方法
9 . 小甲参加商场举行的玩游戏换代金券的活动.若参与A游戏,则每次胜利可以获得该商场150元的代金券;若参与B游戏,则每次胜利可以获得该商场200元的代金券;若参与C游戏,则每次胜利可以获得该商场300元的代金券.已知每参与一次游戏需要成本100元,且小甲每次游戏胜利与否相互独立.
(1)若小甲参加4次A游戏,每次获胜的概率为,记其最终获得450元代金券的概率为,求函数的极大值点;
(2)在(1)的条件下,记小甲参加A,B,C游戏获胜的概率分别为,,.若小甲只玩一次游戏,试通过计算说明,玩哪种游戏小甲获利的期望最大.
(1)若小甲参加4次A游戏,每次获胜的概率为,记其最终获得450元代金券的概率为,求函数的极大值点;
(2)在(1)的条件下,记小甲参加A,B,C游戏获胜的概率分别为,,.若小甲只玩一次游戏,试通过计算说明,玩哪种游戏小甲获利的期望最大.
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2024-03-09更新
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1353次组卷
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6卷引用:山东省菏泽市第一中学八一路校区2024届高三下学期2月月考数学试题
山东省菏泽市第一中学八一路校区2024届高三下学期2月月考数学试题华大新高考联盟2024届高三下学期3月教学质量测评数学试卷华大新高考联盟(老教材全国卷)2024届高三下学期3月教学质量测评理科数学试卷陕西省西安市第一中学2024届高三第十次模拟考试数学(理)试题(已下线)第8章 概率 章末题型归纳总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练(苏教版2019选择性必修第二册)(已下线)专题07 概率与统计综合问题(6类题型)-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编(江苏专用)
名校
10 . 已知随机变量的分布列如下:
则是的( )
1 | 2 | |
A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 |
C.充要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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2024-03-07更新
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2457次组卷
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11卷引用:山东省菏泽市第一中学人民路校区2024届高三下学期2月月考数学试题
山东省菏泽市第一中学人民路校区2024届高三下学期2月月考数学试题广东省2024届高三百日冲刺联合学业质量监测(一模)数学试题(已下线)1.2 常用逻辑用语(十年高考)(已下线)第三套 艺体生新高考全真模拟 (一模重组卷)(已下线)1.2 常用逻辑用语(高考真题素材之十年高考)(已下线)7.3离散型随机变量的数字特征 第二课 归纳核心考点江西省丰城中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题(已下线)第七章 随机变量及其分布总结 第一练 考点强化训练(已下线)7.3.2 离散型随机变量的方差——课后作业(巩固版)单元测试B卷——第七章 随机变量及其分布(已下线)7.3 离散型随机变量的数字特征(6大题型)精练-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)