1 . 类比实数的运算律，你认为复数的乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想．

2 . 多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？

3 . 在高中课本中，我们研究导数是在实数上研究的．实际上，求导（微分）是一个局部性质．那么我们能不能在某些范围内推广导数这一种局部性质．我们在高中课本中讲到：若在附近连续，且若存在，则为点处的导数．我们能不能将概念推广到复数域上呢？显然，我们是可以做到的．此时考虑函数，若在附近连续（实际上可以考虑一个非常非常小的圆），且若存在，则为点处的导数．
(1)按此定义，验证导数的除法公式在复函数求导下仍然成立．
(2)更一般地，若在某个区域上均可导，我们称为上解析的函数．考虑复函数，其中为一个模长小于的复数，为一个模长为的复数．证明：
①该复函数将上的点映为上的点，且将上的点映为上的点．
②为上的解析函数．
(3)已知：（ⅰ）若函数为上的解析函数，且值域在中，满足，则有：．
（ⅱ）若函数，分别为，上的解析函数，则为上的解析函数．
此时若为上的解析函数，且值域在中，满足，证明：．

4 . 已知是关于x的方程的一个根.
(1)求p，q的值及方程的另一个根；
(2)若实系数一元二次方程在复数集C内的两根为，请猜想两根与实系数有怎样的结论?并用方程的根进行验证；
(3)若，则复平面内满足的动点的集合是什么图形?

5 . 实数集中的乘方公式在复数集中还适用吗？

6 . 的几何意义是什么？

7 . 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量，的线性运算定义为：，；两个复向量，的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行.
(1)设，，求以及；
(2)对于实数，判断与能否平行，若能求出的值，若不能，说明理由；
(3)设，，，且复向量与平行，求复数.

8 . 在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
(1)设，，求证：是实数；
(2)已知，，，求的值；
(3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值．

9 . 我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算．

如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到．
(1)计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义；
(2)现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系；
(3)已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式．

10 . 已知常数，设关于的方程．
(1)在复数范围内求解该方程．
(2)当时，设该方程的复根分别为，证明：
(3)如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元次）复系数多项式方程至少有一个复根．证明：有个复数根（重根按重数计）．
(4)将题设的常数“”改为“”，并证明：（2）仍然成立．