复数的几何意义

学习目标：

1.理解复平面、实轴、虚轴等概念，培养学生抽象概括、直观想象等核心素养；

2.掌握复数的几何意义，理解复数对应的点、向量，

3.能计算复数的共轭复数等，培养学生数学运算.

知识要点：

1.复平面

复数$z=a+b\text{i}\left(a,b\in R\right)$可用点$Z\left(a,b\right)$来表示，这个建立了直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，$x$轴叫做____，$y$轴叫做____.

2.复数的几何意义

（1）复数$z=a+b\text{i}\left(a,b\in R\right)$与复平面上的点_____一一对应；

（2）复数$z=a+b\text{i}\left(a,b\in R\right)$与复平面上的向量_____一一对应，其中$O$为坐标原点，$Z\left(a,b\right)$.

3.复数的模

对于复数$z=a+b\text{i}\left(a,b\in R\right)$，其对应的向量$\stackrel{⃑}{OZ}$的模称为复数$z$的___，记为$\left|z\right|$，即$\left|z\right|=\_\_\_\_\_$.

4.共轭复数

（1）对于复数$z=a+b\text{i}\left(a,b\in R\right)$，称复数_____为$z$的共轭复数，记为$\overline{z}$.

（2）共轭复数的性质：$\left|\overline{z}\right|=\_\_\_$.

知识要点答案：

1.实轴，虚轴.

2.（1）$Z\left(a,b\right)$；（2）$\stackrel{⃑}{OZ}$.

3.复数$z$的模，记为$\left|z\right|$，$\sqrt{a^2+b^2}$.

4.（1）$a-b\text{i}$.（2）$\left|z\right|$.

典型例题：

题组一　复数的几何意概念辨析

例1．复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z₁，则对应的向量为（ ）

A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i

变式： 所有满足的复数在复平面上对应的点所组成的集合为（ ）

A．过点且平行于轴的一条直线

B．过点且平行于轴的一条直线

C．分别过点、，且平行于轴的两条直线

D．分别过点，$\left(-2,0\right)$，且平行于轴的两条直线

题组二　各象限内的点对应的复数特征

例3．分别求实数m的取值范围，使得复数对应的点.

（1）在第三象限；

（2）在第二象限或第四象限．

变式：求实数分别取何值时，复数对应的点满足下列条件：

（1）在复平面的第二象限内．

（2）在复平面内的轴上方．

题组三　共轭复数及其计算

例3. 分别写出复数，，，8的共轭复数．

变式：已知复数的共轭复数的模为5，且，求．

题组四　复数的模及其计算

例4. 已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，求z．

变式：已知，求复数z．

题组五　轨迹问题

例5.已知在复平面内，动点Z与复数对应，问：满足等式的点Z的集合是什么图形？

变式：在复平面内，若复数z满足，则z所对应的点的集合是什么图形？

典型例题答案：

例1．A

解：∵复数z＝3+4i对应的点Z（3，4）

∴Z关于原点的对称点为Z₁（﹣3，﹣4）

对应的向量＝﹣3﹣4i

故选：A．

变式：C

因为表示复数z的虚部，

因为，

所以或，

所以复数z在复平面上对应的点的纵坐标是-2或2，

所以点Z的所组成的集合为：

分别过点分别过点、$\left(-2,0\right)$，且平行于轴的两条直线，

故选：C

例2．（1）由复数在第三象限，则，可得；

（2）由复数在第二象限或第四象限，而复数对应坐标为，

∴，可得；

变式：（1）点在复平面的第二象限内，

则即，

解得：，

所以当时，点在复平面的第二象限内.

（2）点在轴上方则

解得：或，

所以当或时，点在复平面内的轴上方．

例3. 由共轭复数定义，复数，，，8的共轭复数分别是，，，8．

变式：由题设，，解得或，

当时，，则；

当时，，则；

例4.由题意，可设且，又，

∴，可得.

当时，；当时，；

变式：设，

所以，因为，

所以，所以，解得，

所以．

例5.由可得，所以，即

所以满足等式的点Z的集合是以为圆心，半径为1的圆

变式：设，则复数z在复平面上的对应点为，

∵，

∴ ，

∴ ，

∴ z所对应的点的集合是过原点斜率为的直线.

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20-21高一·全国·课后作业

单选题 | 容易(0.94)

解题方法

利用复数的概念求参数

复数z=(a²-2a)+(a²-a-2)i的共轭复数对应的点在虚轴上，则实数a的值为（       ）

A．a=0或a=2	B．a=0
C．a≠1，且a≠2	D．a≠1或a≠2

2021-10-15更新 | 348次组卷 | 4卷引用：12.1-2复数的概念与运算-2021-2022学年高一数学10分钟课前预习练（苏教版2019必修第二册）

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20-21高二下·安徽合肥·期中

单选题 | 容易(0.94)

名校

在复平面内，复数z所对应的点在射线上，且，则（       ）

A．

B．

C．

D．

2021-09-03更新 | 472次组卷 | 4卷引用：安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二下学期期中理科数学试题

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20-21高二下·江苏扬州·期中

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

根据复数的几何意义求参数或模的范围

在复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是（     ）

A．线段

B．圆

C．直线

D．圆环

2021-08-24更新 | 251次组卷 | 2卷引用：江苏省扬州市江都区2020-2021学年高二下学期期中数学试题

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20-21高一下·全国·课后作业

填空题-单空题 | 容易(0.94)

解题方法

根据复数的几何意义求参数或模的范围

复数在复平面内的对应点在第四象限，则实数的取值范围是______．

2021-09-23更新 | 383次组卷 | 4卷引用：北师大版(2019) 必修第二册 金榜题名 第五章 复数 §1 复数的概念及其几何意义 1.2 复数的几何意义

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20-21高一·全国·课后作业

解答题-问答题 | 容易(0.94)

在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是，，0，求第四个顶点对应的复数．

2021-11-12更新 | 280次组卷 | 3卷引用：12.3 复数的几何意义

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