第5课时课中向量的数量积

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高一 2021-11-28 1444次

向量的数量积

学习目标：

1. 了解向量数量积的物理背景，掌握向量数量积的定义及投影向量，

2.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直，

3.掌握向量数量积的运算律及常用公式.

4.以问题为载体，培养学生抽象概括、数学运算等核心素养.

知识要点：

1.向量的夹角

（1）已知两个非零向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ ， $O$ 为平面上任意一点，作 $\overset{⃑}{O A} = \overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{O B} = \overset{⃑}{b}$ ，则_____叫做 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角（起点归一）.

（2）当非零向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 同向时，它们的夹角为__；当非零向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 同反向时，它们的夹角为___；（4）如果非零向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 的夹角为___，则说 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 垂直，即为 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ .

（5）非零向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 夹角的范围为：____.

2.向量的数量积及其几何意义

（1）已知非零向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ ，它们的夹角为 $θ$ ，我们把数量____叫做 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的数量积（或内积），记为 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ 即 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = |\overset{⃑}{a}| |\overset{⃑}{b}| \cos θ$ .

（2）规定零向量与任一向量的数量积为___.

（3）设 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 是两个非零向量， $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{C D} = \overset{⃑}{b}$ ，过 $\overset{⃑}{A B}$ 的起点和终点作 $\overset{⃑}{C D}$ 所在的直线的垂线，垂足分别为 $A_{1}, B_{1}$ ，得到 $\overset{⃑}{A_{1} B_{1}}$ ，我们称上述变换为_____，向量____叫做向量 $\overset{⃑}{a}$ 在向量 $\overset{⃑}{b}$ 上的投影向量.

（4）向量 $\overset{⃑}{a}$ 在向量 $\overset{⃑}{b}$ 上的投影向量为____.

3.数量积的性质

（1）设 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 是两个非零向量， $\overset{⃑}{e}$ 是与 $\overset{⃑}{b}$ 同向的单位向量，则：

① $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{e} = \overset{⃑}{e} \cdot \overset{⃑}{a} =___$ ；② $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b} \Leftrightarrow____$ ；

③ $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 同向等价于 $______$ ； $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 反向等价于 $_______$ ；④ $|\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}|___|\overset{⃑}{a}| |\overset{⃑}{b}|$ .

（2）运算律

① $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} =___$ ；② $(λ \overset{⃑}{a}) \cdot \overset{⃑}{b} =___=____$ ；（3） $(\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) \cdot \overset{⃑}{c} =_____$ .

典型例题：

题组一　平面向量数量积的定义

例1．

20-21高一·全国·课后作业

解答题-问答题 | 较易(0.85)

解题方法

利用定义法求平面向量数量积

（1）在

中，

，

，求

，

的值.
（2）已知

，

两个向量，

，

，求

在

方向上的投影与数量投影．

2021-11-24更新 | 560次组卷 | 1卷引用：第5课时课中向量的数量积

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变式：

10-11高三·浙江杭州·假期作业

单选题 | 较易(0.85)

名校

在

中，“

”是“

是钝角三角形”的（）

A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充要条件	D．既不充分也不必要条件

2020-07-24更新 | 1791次组卷 | 26卷引用：2011届浙江省杭州市萧山九中高三寒假作业数学卷二

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变式

19-20高一下·全国·课后作业

单选题 | 较易(0.85)

解题方法

利用定义法求平面向量数量积

已知

是与

同向的单位向量,则向量

在向量

上的投影向量是

A．

B．

C．

D．

2020-02-12更新 | 678次组卷 | 2卷引用：人教A版(2019) 必修第二册过关斩将第六章 6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积

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题组二　数量积的运算律

例2．

20-21高一下·湖南邵阳·期中

解答题-问答题 | 较易(0.85)

名校

解题方法

利用基底法解决平面向量基本定理问题

在

中，

，

是边

上一点，

，设

，

．

（1）试用

，

表示

；
（2）求

的值．

2021-09-08更新 | 953次组卷 | 7卷引用：湖南省邵阳市邵东市第三中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题

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变式：

2020高三·全国·专题练习

多选题 | 适中(0.65)

解题方法

利用定义法求平面向量数量积

（多选题）设

，

是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是（）

A．

B．

C．

不与

垂直

D．

2021-09-29更新 | 2088次组卷 | 8卷引用：专题28 平面向量综合练习-2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）

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题组三数量积的应用-长度

例3.

20-21高一·全国·课后作业

解答题-问答题 | 较易(0.85)

已知向量

、

满足

，

，求

2021-11-24更新 | 513次组卷 | 1卷引用：第5课时课中向量的数量积

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变式：

解答题 | 适中(0.65)

解题方法

数量积和模求平面向量夹角转化法求平面向量的模

设向量

满足|

及|3

.
（1）求

夹角的大小；
（2）求|3

|的值.

2021-03-17更新 | 1968次组卷

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题组四　数量积的应用-角

例4.

20-21高一·上海·课后作业

解答题-问答题 | 较易(0.85)

解题方法

数量积和模求平面向量夹角

设

和

是两个单位向量，其夹角是

，求向量

与

的夹角.

2021-10-20更新 | 554次组卷 | 3卷引用：第12讲向量的坐标表示（讲义）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）

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变式：

20-21高二·全国·课后作业

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

数量积和模求平面向量夹角

已知

，

满足

，

，求

与

的夹角

的余弦值.

2021-10-19更新 | 917次组卷 | 2卷引用：人教B版(2019) 必修第三册学习帮手第八章 8.1.2 向量数量积的运算律

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题组五　数量积的应用-垂直

例5.

20-21高二·全国·课后作业

解答题-问答题 | 较易(0.85)

解题方法

利用定义法求平面向量数量积

已知

，

，向量

，

的夹角为60°，

，

，则当m为何值时，

与

垂直?

2021-10-19更新 | 620次组卷 | 3卷引用：福建省莆田第十一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

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变式：

2021高三·全国·专题练习

解答题-问答题 | 适中(0.65)

解题方法

数量积和模求平面向量夹角

若

，

，试求

，

夹角的余弦值．

2021-09-25更新 | 843次组卷 | 2卷引用：高中数学解题兵法第八十二讲实施方案层层推进

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当堂检测：

20-21高二·全国·课后作业

单选题 | 适中(0.65)

设

，

是三个向量，以下四个选项正确的是（）

A．

B．若

，

，则

C．若

，且

，则

D．若

，

，则

2021-10-19更新 | 816次组卷 | 2卷引用：人教B版(2019) 必修第三册学习帮手第八章 8.1.2 向量数量积的运算律

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20-21高一下·湖南长沙·阶段练习

单选题 | 容易(0.94)

名校

若

，

和

的夹角为

，则

在

的方向上的投影向量的模长为（）

A．2

B．

C．

D．4

2021-07-20更新 | 936次组卷 | 3卷引用：湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高一下学期第二次阶段性检测数学试题

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20-21高一下·上海·课后作业

填空题-单空题 | 容易(0.94)

若向量

在向量

方向上的数量投影为

，且

，则

__________.

2021-03-25更新 | 529次组卷 | 3卷引用：沪教版(2020) 必修第二册领航者第8章平面向量 8.2向量的数量积第2课时向量的数量积的定义与运算律

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20-21高二·全国·课后作业

解答题-问答题 | 较易(0.85)

已知

，

，求实数k的值.

2021-10-19更新 | 760次组卷 | 2卷引用：人教B版(2019) 必修第三册学习帮手第八章 8.1.2 向量数量积的运算律

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20-21高二·全国·课后作业

解答题-问答题 | 较易(0.85)

解题方法

利用定义法求平面向量数量积

如图，在

中，

，

.求：

（1）

；（2）

；（3）

2021-10-19更新 | 1201次组卷 | 4卷引用：河南省周口经济开发区黄泛区高级中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题

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20-21高一下·全国·课后作业

解答题-问答题 | 较易(0.85)

解题方法

利用转化法求平面向量数量积转化法求平面向量的模

在平行四边形

中，

，若

，求

的值．

2021-09-23更新 | 544次组卷 | 2卷引用：北师大版(2019) 必修第二册金榜题名进阶篇十六向量的减法

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知识要点：

【知识要点】

1.（1） $∠ A O B$ ；（2）0； $π$ ；（4） $\frac{π}{2}$ ；（5） $[0, π]$ .

2.（1） $|\overset{⃑}{a}| |\overset{⃑}{b}| \cos θ$ ；（2）0；（3）向量 $\overset{⃑}{a}$ 向向量 $\overset{⃑}{b}$ 投影， $\overset{⃑}{A_{1} B_{1}}$ ；（4） $(|\overset{⃑}{a}| \cos θ) \cdot \frac{\overset{⃑}{b}}{|\overset{⃑}{b}|}$ .

3.（1）① $|\overset{⃑}{a}| \cos θ$ ；② $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 0$ ；③ $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = |\overset{⃑}{a}| |\overset{⃑}{b}|$ ； $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = - |\overset{⃑}{a}| |\overset{⃑}{b}|$ ；④ $\leq$ .

（2）① $\overset{⃑}{b} \cdot \overset{⃑}{a}$ ；② $λ (\overset{⃑}{b} \cdot \overset{⃑}{a}), \overset{⃑}{a} \cdot (λ \overset{⃑}{b})$ ；（3） $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{c} + \overset{⃑}{b} \cdot \overset{⃑}{c}$ .

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