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1 . 若函数的定义域为,且对于任意的、,“”的充要条件是“”,则称函数为上的“单值函数”.对于函数,记
,,,…,,其中,2,3,…,并对任意的,记集合,并规定.
(1)若,函数的定义域为,求和;
(2)若函数的定义域为,且存在正整数,使得对任意的,,求证:函数为上的“单值函数”;
(3)设,若函数的定义域为,且表达式为:
判断是否为上的“单值函数”,并证明对任意的区间,存在正整数,使得.
,,,…,,其中,2,3,…,并对任意的,记集合,并规定.
(1)若,函数的定义域为,求和;
(2)若函数的定义域为,且存在正整数,使得对任意的,,求证:函数为上的“单值函数”;
(3)设,若函数的定义域为,且表达式为:
判断是否为上的“单值函数”,并证明对任意的区间,存在正整数,使得.
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2 . 集合由有限个实数组成,定义集合的离距如下:实数轴上,集合中的每个实数对应一个点,实数对应的点与所有这些点的距离的算术平均数记为,称函数的最小值为集合的离距,记为.例如,集合的离距是0,集合的离距是2.
(1)分别求出集合的离距;
(2)求数集的离距;
(3)已知非空数集满足,试写出一个关于的大小关系的等式或不等式,并给出证明.
(1)分别求出集合的离距;
(2)求数集的离距;
(3)已知非空数集满足,试写出一个关于的大小关系的等式或不等式,并给出证明.
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解题方法
3 . 设的定义域为R,若,都有,则称函数为“函数”.
(1)若在R上单调递减,证明是“函数”;
(2)已知函数.
①证明是上的奇函数,并判断是否为“函数”(无需证明);
②若对任意的恒成立,求实数的取值范围.
(1)若在R上单调递减,证明是“函数”;
(2)已知函数.
①证明是上的奇函数,并判断是否为“函数”(无需证明);
②若对任意的恒成立,求实数的取值范围.
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解题方法
4 . 已知函数,,其中常数.
(1)当时,写出函数的单调区间(无需证明);
(2)当时,方程有四个不相等的实根.
①求的乘积;
②是否存在实数,使得函数在区间单调,且的取值范围为,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)当时,写出函数的单调区间(无需证明);
(2)当时,方程有四个不相等的实根.
①求的乘积;
②是否存在实数,使得函数在区间单调,且的取值范围为,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
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解题方法
5 . 已知函数的定义域为,若存在常数,使得对任意的,都有,则称函数具有性质
(1)若函数具有性质,求:的值;
(2)设,求证:存在常数,使得具有性质;
(3)若函数具有性质,且的图像是一条连续不断的曲线,求证:函数在存在零点.
(1)若函数具有性质,求:的值;
(2)设,求证:存在常数,使得具有性质;
(3)若函数具有性质,且的图像是一条连续不断的曲线,求证:函数在存在零点.
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解题方法
6 . 已知函数能表示为奇函数和偶函数的和.
(1)求和的解析式;
(2)利用函数单调性的定义,证明:函数在区间上是增函数;
(3)令(),对于任意,都有,求实数的取值范围.
(1)求和的解析式;
(2)利用函数单调性的定义,证明:函数在区间上是增函数;
(3)令(),对于任意,都有,求实数的取值范围.
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解题方法
7 . 已知函数的定义域为.若存在实数,使得对于任意,都存在,使得,则称函数具有性质.
(1)分别判断:及是否具有性质;(结论不需要证明)
(2)若函数的定义域为,且具有性质,证明:“”是“函数存在零点”的充分非必要条件;
(3)已知,设,若存在唯一的实数,使得函数,具有性质,求的值.
(1)分别判断:及是否具有性质;(结论不需要证明)
(2)若函数的定义域为,且具有性质,证明:“”是“函数存在零点”的充分非必要条件;
(3)已知,设,若存在唯一的实数,使得函数,具有性质,求的值.
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解题方法
8 . 已知定义在区间的函数.
(1)证明:函数在上为单调递增函数;
(2)设方程有四个不相等的实根,在上是否存在实数,,使得函数在区间上单调,且的取值范围为?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)证明:函数在上为单调递增函数;
(2)设方程有四个不相等的实根,在上是否存在实数,,使得函数在区间上单调,且的取值范围为?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
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解题方法
9 . 给定整数,如果非空集合满足:
一:,,
二:,,若,则,那么称集合为“减集”.
(1)是否为“减0集”?是否为“减1集”?
(2)是否存在“减2集”?如存在,求出所有“减2集”;如不存在,请证明.
(3)是否存在“减1集”?如存在,求出所有“减1集”;如不存在,请证明.
一:,,
二:,,若,则,那么称集合为“减集”.
(1)是否为“减0集”?是否为“减1集”?
(2)是否存在“减2集”?如存在,求出所有“减2集”;如不存在,请证明.
(3)是否存在“减1集”?如存在,求出所有“减1集”;如不存在,请证明.
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2023-09-25更新
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390次组卷
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2卷引用:中国人民大学附属中学2023-2024学年高一上学期数学统练(一)试题
解题方法
10 . 已知函数.
(1)当=0时,函数的值域;
(2)判断的奇偶性,并证明;
(3)当时,的最大值为,求实数的范围.
(1)当=0时,函数的值域;
(2)判断的奇偶性,并证明;
(3)当时,的最大值为,求实数的范围.
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