1 . 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数（）的值域为，求b的值；
（2）研究函数（常数）在定义域上的单调性，并说明理由；
（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

2 . 已知定义在R上的偶函数和奇函数满足(且)，且.
（1）求函数和的解析式；
（2）判断并证明函数在定义域上的单调性；
（3）若函数的最小值为，求实数的值.

3 . 已知函数对任意的实数m，n都有，且当时，有恒成立．
（1）求的值；
（2）求证在R上为增函数；
（3）若，，对任意的，则关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．

4 . 已知函数且.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）若，证明函数在区间上单调递减；
（3）是否存在实数，使得的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由.

5 . 设n为正整数，集合A=，，，，，．对于集合A中的任意元素和，记．
（Ⅰ）当n=3时，若，，求和的值；
（Ⅱ）当时，对于中的任意两个不同的元素，，证明：．
（Ⅲ）给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素，，．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由．

6 . 已知函数对任意实数x，，满足条件，且当时，.
（1）求证：是R上的递增函数；
（2）解不等式；

7 . 设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“互换函数”．
（1）函数与在上互为“互换函数”，求集合；
（2）若函数 （且）与在集合上互为“互换函数”，求证：；
（3）函数与在集合且上互为“互换函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式．

8 . 设定义在实数集上的函数,恒不为0,若存在不等于1的正常数,对于任意实数,等式恒成立,则称函数为函数.
（1）若函数为函数,求出的值；
（2）设,其中为自然对数的底数,函数.
①比较与的大小；
②判断函数是否为函数,若是,请证明；若不是,试说明理由.

9 . 已知，为常数，函数.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围；
（3）对于给定的，且，，证明:关于的方程在区间内有一个实数根.

10 . 已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数，使得.
（1）判断函数（为常数）是否属于集合；
（2）若属于集合，求实数的取值范围；
（3）若，求证：对任意实数，都有属于集合.