1 . 已知是定义在上的函数, 若在定义域上恒成立，而且存在实数满足：且，则实数的取值范围是_______

2 . 已知集合．对于，定义与之间的距离为．
（Ⅰ），写出所有的；
（Ⅱ）任取固定的元素，计算集合中元素个数；
（Ⅲ）设，中有个元素，记中所有不同元素间的距离的最小值为．证明： ．

3 . 定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为

A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

4 . 已知表示不小于的最小整数，例如.
（1）设,,若，求实数的取值范围；
（2）设，在区间上的值域为，集合中元素的个数为，求证：；
（3）设（），，若对于，都有，求实数的取值范围.

5 . 已知非空集合是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意，均存在反函数，且；②对任意，方程均有解；③对任意、，若函数为定义在上的一次函数，则.
（1）若，，均在集合中，求证：函数；
（2）若函数（）在集合中，求实数的取值范围；
（3）若集合中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数，使得对一切，均有.

6 . 若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．
Ⅰ试判断函数及函数是否有“飘移点”并说明理由；
Ⅱ若函数有“飘移点”，求a的取值范围．

7 . 设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记
（Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素
（Ⅱ）设且，求的最大值和最小值；
（Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值.

8 . 定义函数，，其中，符号表示数中的较大者，给出以下命题：
①是奇函数；
②若不等式对一切实数恒成立，则
③时，最小值是2450
④“”是“”成立的充要条件
以上正确命题是__________．（写出所有正确命题的序号）

9 . 定义在上的函数，如果对任意，恒有成立，则称为阶缩放函数．
（1）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求的值；
（2）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求证：函数在上无零点；
（3）已知函数为阶缩放函数，且当时， 的取值范围是，求在上的取值范围．

10 . 设表示不超过的最大整数，若，.给出下列命题：
①对任意的实数，都有.
②对任意的实数，都有.
③.
④若函数，当时，令的值域为，记集合中元素个数为，则的最小值为，
其中所有真命题的序号为______.