1 . 设，函数.
(1)若，求证：函数是奇函数；
(2)若，判断并证明函数的单调性；
(3)设，，若存在实数m，n（），使得函数在区间[m，n]上的取值范围是，求的取值范围.

2 . 已知函数．
(1)求；
(2)判断函数的奇偶性，并加以证明；
(3)求证：函数在上单调递减．

3 . 已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)求证：在上单调递减.

5 . 对于集合，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合和，满足，，其中和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.
（1）判断集合和是否是“可分集合”(不必写过程)；
（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；
（3）若集合是“可分集合”.
①证明：为奇数；
②求集合中元素个数的最小值.

6 . 定义：若函数在某一区间D上任取两个实数，且，都有，则称函数在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）判断函数在区间上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数在区间上具有性质L，求实数a的取值范围．

7 . 已知函数，而函数的图象与的图象关于轴对称.
（1）直接写出函数的解析式；
（2）令.判断函数的奇偶性并证明；
（3）求证：函数是定义域上的增函数.

8 . 已知.
（1）求证：在上是增函数；
（2）①，猜想与的大小关系；
②证明①的猜想的结论；
③求函数的最值.

9 . 设对集合上的任意两相异实数，，若恒成立，则称在上优于；若恒成立，则称在上严格优于.
（1）设在上优于，且是偶函数，判断并证明的奇偶性；
（2）若在上严格优于，，若是上的增函数，求证：在上也是增函数；
（3）设函数，，若，是否存在实数使得在上优于，若存在，求实数的最大值；若不存在，请说明理由.

10 . 已知函数.
（1）若，求证：函数是偶函数；
（2）若，用定义证明函数在上单调递增；
（3）是否存在实数，使得在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.