1 . 如图，四边形为矩形，且，，平面，，为的中点．

(1)求证：；
(2)若点为上的中点，证明平面．

2 . 如图，边长为的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，分别为的中点.

(1)求四棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

3 . 如图，在四棱锥中，，，，平面平面ABCD.

（1）求证：；
（2）已知二面角的余弦值为.线段PC上是否存在点M，使得BM与平面PAC所成的角为30°？证明你的结论.

4 . 已知四棱锥中，平面，，，，是线段的中点．

（1）求证：平面；
（2）试在线段上确定一点，使得平面，并加以证明．

5 . 在四棱锥中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E为线段PA的中点.

(1)求证：平面BDE.
(2)求三棱锥的体积

6 . 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．

   

(1)若平面平面，求证：；
(2)若，设和平面所成角为，求的最大值．

7 . 几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点．
   
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，并说明理由．

8 . 如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点．将，，分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点P．
   
(1)求证：平面PEF；
(2)若，且K为PD的中点，求三棱锥的体积．

9 . 如图，在正方体中，
   
(1)求证；
(2)求与平面所成角的大小．

10 . 如图，一块正方体形木料ABCD—A₁B₁C₁D₁的上底面有一点M，
   
(1)问：经过点M在上底面上能否画一条直线，使其与CM垂直，若可以，该怎么画，写出作图过程并加以证明，若不能，说明理由.
(2)若正方体棱长为2，F为线段BC的中点，求AF与面A₁BC所成角的正弦值.