2024高一下·江苏·专题练习
解题方法
1 . 证明：
．
．
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2 . （1）已知向量
，
，
与
平行，求实数
的值.
（2）已知向量
与
不共线，如果
，求证
，
，
三点共线；
（3）试确定实数，使和
平行.
，，与平行，求实数的值.（2）已知向量
与不共线，如果，求证，，三点共线；（3）试确定实数
，使和平行.
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3 . 如图所示，在平行四边形
中，点
为
中点，点
在
上，且
，记
，
.
为基底表示
；
(2)求证：
三点共线.
中，点为中点，点在上，且，记，.
为基底表示；(2)求证：
三点共线.
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2024高一·上海·专题练习
4 . 若
，证明：
，且
.
，证明：，且.
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2024高一·全国·专题练习
解题方法
5 . 如图，设
分别是梯形的对角线
的中点.试用向量的方法证明：
分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：
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6 . 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一. 据记载，在公元前1120年，商高答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五，既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩. ”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”. 数百年后，希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明了这个定理，因此“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”. 三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明. 如图所示的勾股圆方图中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形. 若中间小正方形面积（阴影部分）是大正方形面积一半，则直角三角形中较小的锐角
的大小为_________ .
的大小为
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2024高一下·全国·专题练习
7 . 如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点
和点
，使
.试用向量方法证明：四边形
是平行四边形.
的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
8 . 在平面内有一点
，对任一异于点的
点，将其变换成该射线
上一点
，且使
，这个变换叫做平面反演变换
点叫做反演中心或反演极，
叫做反演幂．
(1)若是坐标原点，
关于的反演点是
，求证：
，
．
(2)以坐标原点为反演中心，反演幂
，求曲线
经过反演变换后的轨迹．
，对任一异于点的点，将其变换成该射线上一点，且使，这个变换叫做平面反演变换点叫做反演中心或反演极，叫做反演幂．(1)若
是坐标原点，关于的反演点是，求证：，．(2)以坐标原点
为反演中心，反演幂，求曲线经过反演变换后的轨迹．
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9 . 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：
，双曲余弦函数：
.（
为自然对数的底数，
……）.
(1)解方程：
；
(2)证明：两角和的双曲正弦公式
，双曲余弦函数：.（为自然对数的底数，……）.(1)解方程：
；(2)证明：两角和的双曲正弦公式
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；
.
