1 . 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.
(1)计算的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；
(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.

2 . 如图，AB为半圆O的直径，，C，D为（不含端点）上两个不同的动点.
   
(1)若C是上更靠近点B的三等分点，D是上更靠近点A的三等分点，用向量方法证明：且.
(2)若与共线，求面积的最大值.

3 . 已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：．
   

4 . 如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.

   

5 . 已知，
(1)求满足的关系
(2)求证：．

6 . 如图所示，已知中，分别为边上的高，而且与相交于点O，连接并延长，与相交于点D.求证：.
   

7 . 某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：
①；②
根据以上研究结论，回答：
(1)在①和②中任选一个进行证明：
(2)求值：.

8 . 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．

   

(1)求的值；
(2)求证：．

9 . 如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设，，，求证：.

10 . 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
(1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
(2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
(3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．