2 . 已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令   ，并将数列称为的“生成数列”．
(1)若，求数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为，求证：；
(3)若是等比数列，证明：存在正整数，当时，   是等比数列．

3 . 数列：，，，…，，…，对于给定的（，），记满足不等式：（，）的构成的集合为．
（Ⅰ）若数列，写出集合；
（Ⅱ）如果（，）均为相同的单元素集合，求证：数列，，…，，…为等差数列；
（Ⅲ）如果（，）为单元素集合，那么数列，，…，，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．

4 . 记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“极差数列”仍是；
（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.

5 . 若无穷数列满足：存在，并且只要，就有（t为常数，），则称具有性质T．
（Ⅰ）若具有性质T，且，，，，，求；
（Ⅱ）若无穷数列的前n项和为，且，证明存在无穷多个b的不同取值，使得数列具有性质T；
（Ⅲ）设是一个无穷数列，数列中存在，且．求证：“为常数列”是“对任意正整数，都具有性质T”的充分不必要条件．

6 . 已知数组，如果数组满足，且，其中，则称为的“兄弟数组”.
（1）写出数组的“兄弟数组”；
（2）若的“兄弟数组”是，试证明：成等差数列；
（3）若为偶数，且的“兄弟数组”是，求证：.

7 . 已知各项均为非负整数的数列，，，，满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为，，，，0，，，．设，，1，．
（1）若数列，1，1，3，0，0，试写出数列；若数列，0，0，0，0，试写出数列；
（2）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；
（3）若数列经过有限次变换，可变为数列．设，，2，，，求证，其中表示不超过的最大整数．