1 . 在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列．
(1)若数列为1阶等比数列，，，求的通项公式及前n项的和；
(2)若数列为m阶等差数列，求证：为m阶等比数列；
(3)若数列既是m阶等差数列，又是阶等差数列，证明：是等比数列．

2 . 已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”.
(1)若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求；
(2)若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；
(3)若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列.

3 . 已知数列的前项积为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)证明：.

4 . 已知数列满足，
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前n项和为，求证：.

5 . 设正项数列的前项和为，首项为1，已知对任意整数，当时，（为正常数）恒成立．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：数列是递增数列；
(3)是否存在正常数，使得为等差数列？若存在，求出常数的值；若不存在，说明理由．

6 . 已知数列，，，其中．
(1)设，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，求证：；
(3)设为非零整数，，试确定的值，使得对任意，都有成立．

8 . 设正项数列满足，且.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列的前项和.

9 . 设{a_n}是首项为1的等比数列，数列{b_n}满足b_n＝，已知a₁，3a₂，9a₃成等差数列．
(1)求{a_n}和{b_n}的通项公式；
(2)记S_n和T_n分别为{a_n}和{b_n}的前n项和．证明：T_n＜．
(3)求证：

10 . 记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且.
(1)求的通项公式，并证明数列是等比数列；
(2)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
(3)求证：对于任意正整数，.