1 . 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”,提出长方台形垛积的一般求和公式.如图,由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球,第二层有个小球,第三层有个小球……依此类推,最底层有 个小球,共有层,由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层,小球总个数为240,则该垛积的第一层的小球个数为( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
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2 . 设正整数,,,这里. 若,且,则称具有性质.
(1)当时,若具有性质,且,,,令,写出的所有可能值;
(2)若具有性质:
①求证:;
②求的值.
(1)当时,若具有性质,且,,,令,写出的所有可能值;
(2)若具有性质:
①求证:;
②求的值.
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3 . 已知数列,从中选取第项、第项、…、第项构成数列,称为的项子列.记数列的所有项的和为.当时,若满足:对任意,,则称具有性质.规定:的任意一项都是的项子列,且具有性质.
(1)当时,比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小,并说明理由;
(2)已知数列.
(ⅰ)给定正整数,对的项子列,求所有的算术平均值;
(ⅱ)若有个不同的具有性质的子列,满足:,与都有公共项,且公共项构成的具有性质的子列,求的最大值.
(1)当时,比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小,并说明理由;
(2)已知数列.
(ⅰ)给定正整数,对的项子列,求所有的算术平均值;
(ⅱ)若有个不同的具有性质的子列,满足:,与都有公共项,且公共项构成的具有性质的子列,求的最大值.
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4 . 在数列中,,.给出下列三个结论:
①存在正整数,当时,;
②存在正整数,当时,;
③存在正整数,当时,.
其中所有正确结论的序号是_______ .
①存在正整数,当时,;
②存在正整数,当时,;
③存在正整数,当时,.
其中所有正确结论的序号是
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5 . 设无穷正数数列,如果对任意的正整数,都存在唯一的正整数,使得,那么称为内和数列,并令,称为的伴随数列,则( )
A.若为等差数列,则为内和数列 |
B.若为等比数列,则为内和数列 |
C.若内和数列为递增数列,则其伴随数列为递增数列 |
D.若内和数列的伴随数列为递增数列,则为递增数列 |
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6 . 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹,如图1.通过观察发现,该黏菌繁殖符合如下规律:①黏菌沿直线繁殖一段距离后,就会以该直线为对称轴分叉(分叉的角度约为),再沿直线繁殖,…;②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是,该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型:黏菌从圆形培养皿的中心O开始,沿直线繁殖到,然后分叉向与方向继续繁殖,其中,且与关于所在直线对称,….若,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁,则培养皿的半径r(,单位:)至少为( )
A.6 | B.7 | C.8 | D.9 |
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2024-05-08更新
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1040次组卷
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2卷引用:北京市海淀区2024届高三下学期期中练习(一模)数学试题
7 . 有穷数列中,令,
(1)已知数列,写出所有的有序数对,且,使得;
(2)已知整数列为偶数,若,满足:当为奇数时,;当为偶数时,.求的最小值;
(3)已知数列满足,定义集合.若且为非空集合,求证:.
(1)已知数列,写出所有的有序数对,且,使得;
(2)已知整数列为偶数,若,满足:当为奇数时,;当为偶数时,.求的最小值;
(3)已知数列满足,定义集合.若且为非空集合,求证:.
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解题方法
8 . 已知数列的各项均为正数,满足,其中常数.给出下列四个判断:
①若,则;
②若,则;
③若,则;
④,存在实数,使得.
其中所有正确判断的序号是______ .
①若,则;
②若,则;
③若,则;
④,存在实数,使得.
其中所有正确判断的序号是
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9 . 已知数列,记集合.
(1)若数列为,写出集合;
(2)若,是否存在,使得?若存在,求出一组符合条件的;若不存在,说明理由;
(3)若,把集合中的元素从小到大排列,得到的新数列为, 若,求的最大值.
(1)若数列为,写出集合;
(2)若,是否存在,使得?若存在,求出一组符合条件的;若不存在,说明理由;
(3)若,把集合中的元素从小到大排列,得到的新数列为, 若,求的最大值.
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2024-04-10更新
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908次组卷
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2卷引用:2024届北京市延庆区高考一模数学试题
名校
10 . 已知无穷数列满足:对任意,有,且.给出下列四个结论:
①存在无穷多个,使得;
②存在,使得;
③对任意,有;
④对任意,存在互不相同的,使得.
其中所有正确结论的序号是__________ .
①存在无穷多个,使得;
②存在,使得;
③对任意,有;
④对任意,存在互不相同的,使得.
其中所有正确结论的序号是
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