解题方法
1 . 当,且时,我们把叫做数列的阶子数列,若成等差(等比)数列,则称为数列的阶等差(等比)子数列.已知项数为,且的等差数列的首项,公差.
(1)写出数列的所有3阶等差子数列;
(2)数列中是否存在3阶等比子数列,若存在,请至少写出一个;若不存在,请说明理由;
(3)记数列的3阶和4阶等差子数列个数分别为,求证:.
(1)写出数列的所有3阶等差子数列;
(2)数列中是否存在3阶等比子数列,若存在,请至少写出一个;若不存在,请说明理由;
(3)记数列的3阶和4阶等差子数列个数分别为,求证:.
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2 . 约数,又称因数.它的定义如下:若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数,我们就称为的倍数,称为的约数.设正整数共有个正约数,即为.
(1)当时,若正整数的个正约数构成等比数列,请写出一个的值;
(2)当时,若构成等比数列,求正整数;
(3)记,求证:.
(1)当时,若正整数的个正约数构成等比数列,请写出一个的值;
(2)当时,若构成等比数列,求正整数;
(3)记,求证:.
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112次组卷
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15卷引用:湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷(已下线)第四套 艺体生新高考全真模拟 (一模重组卷)广东省广州市广东实验中学2023-2024学年高三下学期教学情况测试(二)数学试卷A福建省宁德市古田县第一中学2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷北京市通州区2023届高三上学期期末数学试题北京市第五十五中学2024届高三上学期10月月考数学试题北京市东城区第六十五中学2024届高三上学期12月月考数学试题(已下线)高考数学冲刺押题卷02(2024新题型)(已下线)微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编(已下线)专题06 数列(已下线)第18题 数列与集合结合的新定义问题(高三备考9月刊)湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(已下线)高二下学期第三次月考模拟卷(新题型)(范围:导数+选择性必修第三册)-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)广东省佛山市高明区第一中学2023-2024学年高二下学期第一次大考数学试题
3 . 若数列满足,且,则称数列为“稳定数列”.
(1)若数列为“稳定数列”,求的取值范围;
(2)若数列的前项和,判断数列是否为“稳定数列”,并说明理由;
(3)若无穷数列为“稳定数列”,且的前项和为,证明:当时,.
(1)若数列为“稳定数列”,求的取值范围;
(2)若数列的前项和,判断数列是否为“稳定数列”,并说明理由;
(3)若无穷数列为“稳定数列”,且的前项和为,证明:当时,.
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7日内更新
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180次组卷
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3卷引用:广西桂平市部分示范性高中2025届高三开学摸底考试数学试卷
4 . 已知是各项均为正整数的无穷递增数列,对于,定义集合,设为集合中元素的个数,若时,规定.
(1)若,则______ ;
(2)若数列是等差数列,则数列的前50项之和为______ .
(1)若,则
(2)若数列是等差数列,则数列的前50项之和为
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5 . 对于数列,若存在常数,,使得对任意的正整数,恒有成立,则称数列是从第项起的周期为的周期数列.当时,称数列为纯周期数列;当时,称数列为混周期数列.记为不超过的最大整数,设各项均为正整数的数列满足:.
(1)若对任意正整数都有,请写出三个满足条件的的值;
(2)若数列是纯周期数列,请写出满足条件的的表达式,并说明理由;
(3)证明:不论为何值,总存在使得.
(1)若对任意正整数都有,请写出三个满足条件的的值;
(2)若数列是纯周期数列,请写出满足条件的的表达式,并说明理由;
(3)证明:不论为何值,总存在使得.
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2024-09-04更新
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206次组卷
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2卷引用:广东省珠海市2025届高三第一次摸底考试数学试题
名校
解题方法
6 . 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”,即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点,托里拆利确定费马点的方法如下:
①当的三个内角均小于时,满足的点为费马点;
②当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题:
已知的内角所对的边分别为,点为的费马点,且.
(1)求;
(2)若,求的最大值;
(3)若,求实数的最小值.
①当的三个内角均小于时,满足的点为费马点;
②当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题:
已知的内角所对的边分别为,点为的费马点,且.
(1)求;
(2)若,求的最大值;
(3)若,求实数的最小值.
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2024-09-01更新
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344次组卷
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2卷引用:黑龙江省大庆市2023-2024学年高三下学期第三次教学质量检测数学试卷
名校
7 . 已知数列的前三项均为,且.
(1)求的通项公式;
(2)设数列的各项均为正整数,且.
(ⅰ)若,,证明:为等差数列;
(ⅱ)若,为递增等差数列,求的最小值.
(1)求的通项公式;
(2)设数列的各项均为正整数,且.
(ⅰ)若,,证明:为等差数列;
(ⅱ)若,为递增等差数列,求的最小值.
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8 . 若项数为的数列满足两个性质:①;②存在,使得,并记是数列的最大项,.则称数列具有性质.
(1)若,写出所有具有性质的数列;
(2)数列具有性质,若,求的最大项的最大值;
(3)数列具有性质,若,且还满足以下两条性质:(ⅰ)对于满足的项和,在的余下的项中,总存在满足的项和,使得;(ⅱ)对于满足的项和,在的余下的项中,总存在满足的项和,使得.求满足上述性质的的最小值.
(1)若,写出所有具有性质的数列;
(2)数列具有性质,若,求的最大项的最大值;
(3)数列具有性质,若,且还满足以下两条性质:(ⅰ)对于满足的项和,在的余下的项中,总存在满足的项和,使得;(ⅱ)对于满足的项和,在的余下的项中,总存在满足的项和,使得.求满足上述性质的的最小值.
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9 . 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“A型扩展”.如将数列进行“A型扩展”,第一次得到数列:第二次得到数列设第次“A型扩展”后所得数列为(其中),并记;在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列进行“B型扩展”,第一次得到数列;第二次得到数列设第次“B型扩展”后所得数列为(其中),当时,记.
(1)当时,求数列1,2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项;
(2)当时,求数列的通项公式;
(3)是否存在一个项数为的数列,记的各项和为,记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列,记各项和为,使得成立.(其中,是第二问中数列的通项公式)若存在,写出一个满足条件的的通项公式;若不存在,请说明理由.
(1)当时,求数列1,2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项;
(2)当时,求数列的通项公式;
(3)是否存在一个项数为的数列,记的各项和为,记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列,记各项和为,使得成立.(其中,是第二问中数列的通项公式)若存在,写出一个满足条件的的通项公式;若不存在,请说明理由.
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2024-08-24更新
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336次组卷
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3卷引用:湖北省腾云联盟2024-2025学年高三上学期8月联考数学试卷
10 . 角谷猜想,也称为“”猜想.其内容是:任取一个正整数,如果是偶数,将它除以2;如果是奇数,则将它乘以3再加上1,如此反复运算,该数最终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数,按照上述规则实施第1次运算后的结果记为,实施第2次运算后的结果记为,…,实施第次运算后的结果记为,实施第n次运算后得到数1,停止运算,便可以得到有穷数列,1,其递推关系式为:叫做数列的原始项.将此递推关系式推广为:(,且),其它规则不变,得到的数列记作数列,试解答以下问题:
(1)若,则数列的项数为______;
(2)求数列的原始项的所有可能取值构成的集合;
(3)若对任意的数列,均有,求d的最小值.
(1)若,则数列的项数为______;
(2)求数列的原始项的所有可能取值构成的集合;
(3)若对任意的数列,均有,求d的最小值.
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