1 . 已知项数为的有限数列，若，则称为“数列”.
（1）判断数列3､4､2､5､1和2､3､4､5､1､6是否为数列，并说明理由；
（2）设数列中各项互不相同，且，，若也是数列，求有限数列的通项公式；
（3）已知数列是的一个排列，且，求的所有可能值.

2 . 已知点、、、（），都在函数（，）的图像上.
（1）若数列是等比数列，求证：数列是等差数列；
（2）当（）时，设过点、的直线与两坐标轴围成的三角形面积为，
①求出直线在两坐标轴上的截距；
②求数列最大项及其值，并说明理由；
（3）若数列是递增数列，数列满足：对任意，总可以找到，使得，则称是的“分隔数列”，若（），递增数列满足，是的前项和，若数列是的“分隔数列”，求实数与的取值范围.

3 . 已知数列，记集合.
（1）对于数列，写出集合；
（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由.
（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值.

4 . 已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使；
②对于中任意项，在中都存在两项．使得．
(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.

5 . 若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.
（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：
①等差数列：；
②等比数列：；
（2）若数列满足对任何正整数，均有.证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是.
（3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.

6 . 有限个元素组成的集合为，，集合中的元素个数记为，定义，集合的个数记为，当，称集合具有性质.
（1）设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；
（2） 设正数列的前项和为，满足，其中，数列中的前项：组成的集合记作，将集合中的所有元素从小到大排序，即满足，求；
（3） 已知集合，其中数列是等比数列，，且公比是有理数，判断集合是否具有性质，说明理由.

7 . 已知数列满足:，，其中表示不超过实数的最大整数，设为实数，且对任意的正整数，都有(其中符号为连加号，如)，则的最小值是__________ ；

8 . 已知定义在上的函数和数列满足下列条件:，当且时，且，其中均为非零常数.
（1）数列是等差数列，求的值；
（2）令，若，求数列的通项公式；
（3）证明:数列是等比数列的充要条件是.

9 . （1）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R表示的外接圆半径.
①如图，在以O圆心、半径为2的圆O中，和是圆O的弦，其中，，求弦的长；
②在中，若是钝角，求证：；

（2）给定三个正实数a、b、R，其中，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用a、b、R表示c.

10 . 对于数列，若对任意的，也是数列中的项，则称数列为“数列”，已知数列满足：对任意的，均有，其中表示数列的前项和.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列为“数列”，，且，求的所有可能值；
（3）若对任意的，也是数列中的项，求证：数列为“数列”.