1 . （1）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R表示的外接圆半径.
①如图，在以O圆心、半径为2的圆O中，和是圆O的弦，其中，，求弦的长；
②在中，若是钝角，求证：；

（2）给定三个正实数a、b、R，其中，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用a、b、R表示c.

2 . 规定：对于任意实数，若存在数列和实数，使，则称可以表示成进制形式，简记为：；如：，表示是一个2进制形式的数，且；
（1）已知，试将表示成进制的简记形式；
（2）若数列满足，，，，，求证：；
（3）若常数满足且，，求.

3 . 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上，记与的等差中项为.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和；
（Ⅲ）设集合，，等差数列的任意一项，其中是中的最小数，且，求的通项公式.

4 . 记，.设关于实数的函数满足:，则可取的值为

A．

B．

C．

D．

5 . 将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列，如果数列存在成等比数列的子数列，那么称该数列为“弱等比数列”.已知，设区间内的三个正整数，，满足:数列，，，为“弱等比数列”，则的最小值为________.

6 . 在数列中，，对任意，，，成等差数列，其公差为.
（Ⅰ）若，证明：，，成等比数列（）
（Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为，，证明是等差数列.

7 . 对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意,都有.成立,那么,就把这样的一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,简称周期:例如:当时,是周期为1的周期数列:当时,是周期为4的周期数列.
(1)设数列满足(不同时为0),求证:数列是周期数列,并求数列前2020项和;
(2)设数列前项和为,且;
①若,试判断是否为周期数列,并说明理由;
②若,试判断是否为周期数列,并说明理由;
(3)设数列满足,数列前项和为,试问是否存在,使对任意,都有成立,若存在,求出的取值范围,若不存在,说明理由.

8 . 已知数列是等比数列,且,,数列满足:对于任意,有.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:,,设,当且仅当时,取得最大值,求的取值范围.

9 . 已知数列中，，，且其前n项和满足（其中），令；
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证： ，；
（3），求同时满足下列条件的所有a的值；
①对任意的正整数n，都有；
②对任意的，均存在，使得当时，．

10 . 已知数列，为其前项的和，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，求证：当，时；
（3）已知当，且时有，其中，求满足的所有的值.