1 . 若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切线为函数的图象的“自公切线”,称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
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解题方法
2 . 如图,已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆,是以的焦点为顶点的等轴双曲线,点是与的一个交点,动点在的右支上且异于顶点.(1)求与的方程;
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,求点的坐标;
(3)设直线的斜率分别为,直线与相交于点,直线与相交于点,,,求证:且存在常数使得.
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,求点的坐标;
(3)设直线的斜率分别为,直线与相交于点,直线与相交于点,,,求证:且存在常数使得.
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名校
解题方法
3 . 如图是某公园局部的平面示意图,图中的实线部分(它由线段与分别以为直径的半圆弧组成)表示一条步道.其中的点是线段上的动点,点O为线段的中点,点在以为直径的半圆弧上,且均为直角.若百米,则此步道的最大长度为_________ 百米.
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2024-04-24更新
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304次组卷
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2卷引用:上海市黄浦区2024届高三二模数学试题
4 . 平面两点,的坐标分别满足和.为坐标原点,已知,且,.若存在,使得,则正实数的值为______________ .
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名校
解题方法
5 . 已知关于的函数,与在区间上恒有,则称满足性质.
(1)若,,,,判断是否满足性质,并说明理由;
(2)若,,且,求的值并说明理由;
(3)若,,,,试证:是满足性质的必要条件.
(1)若,,,,判断是否满足性质,并说明理由;
(2)若,,且,求的值并说明理由;
(3)若,,,,试证:是满足性质的必要条件.
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2023-05-26更新
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778次组卷
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2卷引用:上海市黄浦区格致中学2024届高三下学期开学考试数学试题
名校
解题方法
6 . 三个互不相同的函数与在区间上恒有或恒有,则称为与在区间上的“分割函数”.
(1)设,试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”,请说明理由;
(2)求所有的二次函数(用表示,使得该函数是与在区间上的“分割函数”;
(3)若,且存在实数,使得为与在区间上的“分割函数”,求的最大值.
(1)设,试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”,请说明理由;
(2)求所有的二次函数(用表示,使得该函数是与在区间上的“分割函数”;
(3)若,且存在实数,使得为与在区间上的“分割函数”,求的最大值.
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2023-04-13更新
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969次组卷
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5卷引用:上海市黄浦区2023届高三二模数学试题
上海市黄浦区2023届高三二模数学试题河北省衡水中学2023届高三下学期第五次综合素养测评数学试题上海市市北中学2024届高三上学期10月月考数学试题(已下线)重难点04导数的应用六种解法(1)(已下线)第5章 函数的概念、性质及应用单元复习+热考题型-同步精品课堂(沪教版2020必修第一册)
解题方法
7 . 已知双曲线的中心在坐标原点,左焦点与右焦点都在轴上,离心率为,过点的动直线与双曲线交于点、.设.(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)若点、都在双曲线的右支上,求的最大值以及取最大值时的正切值;(关于求的最值.某学习小组提出了如下的思路可供参考:①利用基本不等式求最值;②设为,建立相应数量关系并利用它求最值;③设直线l的斜率为k,建立相应数量关系并利用它求最值).
(3)若点在双曲线的左支上(点不是该双曲线的顶点,且,求证:是等腰三角形.且边的长等于双曲线的实轴长的2倍.
(2)若点、都在双曲线的右支上,求的最大值以及取最大值时的正切值;(关于求的最值.某学习小组提出了如下的思路可供参考:①利用基本不等式求最值;②设为,建立相应数量关系并利用它求最值;③设直线l的斜率为k,建立相应数量关系并利用它求最值).
(3)若点在双曲线的左支上(点不是该双曲线的顶点,且,求证:是等腰三角形.且边的长等于双曲线的实轴长的2倍.
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2023-04-13更新
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741次组卷
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5卷引用:上海市黄浦区2023届高三二模数学试题
上海市黄浦区2023届高三二模数学试题(已下线)专题08 平面解析几何-学易金卷上海市桃浦中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷(已下线)重难点03圆锥曲线综合七种问题解题方法-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试(沪教版2020选修一+选修二)(已下线)专题09 双曲线(四大核心考点六种题型)-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练(沪教版2020)
解题方法
8 . 某展览会有四个展馆,分别位于矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D处,现要修建如图中实线所示的步道(宽度忽略不计,长度可变)把这四个展馆连在一起,其中百米,百米,且.(1)试从各段步道的长度与图中各角的弧度数中选择某一变量作为自变量x,并求出步道的总长y(单位:百米)关于x的函数关系式;
(2)求步道的最短总长度(精确到0.01百米).
(2)求步道的最短总长度(精确到0.01百米).
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9 . 已知直线与曲线交于、两点,为坐标原点.
(1)当时,有,求曲线的方程;
(2)当实数为何值时,对任意,都有为定值?指出的值;
(3)已知点,当,变化时,动点满足,求动点的纵坐标的变化范围.
(1)当时,有,求曲线的方程;
(2)当实数为何值时,对任意,都有为定值?指出的值;
(3)已知点,当,变化时,动点满足,求动点的纵坐标的变化范围.
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2023-01-19更新
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382次组卷
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2卷引用:上海市格致中学2021届高三上学期10月月考数学试题
名校
解题方法
10 . 我们用“”表示“将直角坐标平面内点进行变换后得到,即,已知,,若存在一个圈,使所有的点都在这个圆内或圆上,则称这个圆为的一个收敛圈.
(1)若,且,判断是否存在半径为的收敛圆.并说明理由;
(2)若,且,求的半径最小的收敛圆的方程.
(3)对于(2)中的图上一点,,的轨迹为,,分别是椭圆的焦点,是上异于,的一点,直线,与分别相交于点、和、,判断是否为定值,证明你的结论.
(1)若,且,判断是否存在半径为的收敛圆.并说明理由;
(2)若,且,求的半径最小的收敛圆的方程.
(3)对于(2)中的图上一点,,的轨迹为,,分别是椭圆的焦点,是上异于,的一点,直线,与分别相交于点、和、,判断是否为定值,证明你的结论.
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