1 . 已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.
(1)求的方程；
(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.

2 . 已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：．

3 . 已知函数．
(1)设曲线在点处的切线为，求与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若，证明：曲线与直线仅有一个交点．

4 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．

5 . 已知椭圆经过点，其右顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点、在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点．

6 . 已知函数.
(1)讨论的极值点的个数；
(2)若函数有两个极值点，证明：.

7 . 已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)证明：，，不等式恒成立．

8 . 已知函数，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)记函数，若有两个不同的零点，，证明：．

10 . 已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2，过点且斜率为1的直线与椭圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若，．证明：为定值．