1 . 已知双曲线：，其渐近线方程为，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.

2 . 已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)证明：，且.

3 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为，直线与轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点，求证：为定值.

4 . 已知是椭圆的右焦点，点在不过原点的直线上，交于，两点.当与互补时，，.
(1)求的方程；
(2)证明：为定值.

5 . 已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：．

6 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，且是的极值点，证明：
（i）时，取得极小值；
（ii）.

7 . 已知点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若直线：与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线交于，两点，求证：的周长为定值．

8 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，令，，求证：.

9 . 已知函数.
(1)若，求证；函数的图象与轴相切于原点；
(2)若函数在区间，各恰有一个极值点，求实数的取值范围.

10 . 已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若，求的取值范围．