1 . 已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

2 . 已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．

(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；
(3)证明：为定值？并求的最大值．

3 . 已知椭圆的焦距为2，经过点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)椭圆的左顶点为，过其右焦点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值.

4 . 已知抛物线的焦点为， 过的直线交于两点， 过与垂直的直线交于两点，其中在轴左侧，分别为的中点，且直线过定点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为直线与直线的交点;
（i）证明在定直线上；
（ii）求面积的最小值.

5 . 已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题：
（i）求弦长；
（ii）求证：.

6 . 已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若时，，求a的取值范围；
(3)对于任意，证明：．

7 . 已知，分别是椭圆：的左，右顶点，为椭圆上的点，直线，的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，且直线与相交于点，若点在直线上，证明：直线过定点．

8 . 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．
(1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹即曲线的形状．
(2)过作两直线与抛物线相切，且分别与曲线交于，两点，直线，的斜率分别为，．
①求证：为定值；
②试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

9 . 已知抛物线的焦点F，点在抛物线C上.
(1)求；
(2)过点M向x轴作垂线，垂足为N，过点N的直线l与抛物线C交于A，B两点，证明：（O为坐标原点）.

10 . 已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为
(1)证明：为定值:
(2)若，求的面积．