1 . 已知，是的导函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，与x轴负半轴的交点为点P，在点P处的切线方程为．
①求证：对于任意的实数x，都有；
②若关于x的方程有两个实数根，且，证明：．

3 . 设点 是椭圆 上任意一点，过点 作椭圆的切线，与椭圆交于 两点.

(1)求证：;
(2)的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

4 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，求证：当时，恰有两个零点.

5 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：．

6 . 已知双曲线的离心率为，左焦点到双曲线的渐近线的距离为，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点，且点关于原点对称．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：直线过定点．

7 . 已知函数，
(1)当，和有相同的最小值，求的值；
(2)若有两个零点，求证：.

8 . 已知焦点在轴上的等轴双曲线的左、右顶点分别为，且到的渐近线的距离为，直线与双曲线的左、右支分别交于点（异于点）．
(1)当时，证明：以为直径的圆经过两点．
(2)设直线的斜率分别为，若点在双曲线上，证明为定值，并求出该定值．

9 . 已知函数．
(1)若，当时，证明：．
(2)若，证明：恰有一个零点．

10 . 已知函数，．
(1)若，求证：；
(2)若关于的不等式的解集为集合，且，求实数的取值范围．