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1 . 双曲线的第三定义是:到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是(两组)双曲线.人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”,经探究它的图象实际上是双曲线.进一步探究可以发现对勾函数,的图象是以直线,为渐近线的双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线,则它的离心率是( )
A. | B. | C. | D. |
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2 . 若函数在定义域内存在两个不同的数,同时满足,且在点处的切线斜率相同,则称为“切合函数”
(1)证明:为“切合函数”;
(2)若为“切合函数”,并设满足条件的两个数为.
(ⅰ)求证:;
(ⅱ)求证:.
(1)证明:为“切合函数”;
(2)若为“切合函数”,并设满足条件的两个数为.
(ⅰ)求证:;
(ⅱ)求证:.
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2024·四川眉山·三模
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3 . 已知椭圆的离心率是,左、右顶点分别为,过线段上的点的直线与交于两点,且与的面积比为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与交于点.证明:点在定直线上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与交于点.证明:点在定直线上.
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2024·重庆·二模
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4 . 设函数,点,其中,且,则直线斜率的取值范围是( )
A. | B. | C. | D. |
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5 . 已知T是上的动点(A点是圆心),定点,线段TB的中垂线交直线TA于点P.
(1)求P点轨迹的方程;
(2)已知直线的方程,过点B的直线(不与轴重合)与曲线相交于M,N两点,过点M作,垂足为
①求证:直线ND过定点,并求出定点的坐标;
②点为坐标原点,求面积的最大值.
(1)求P点轨迹的方程;
(2)已知直线的方程,过点B的直线(不与轴重合)与曲线相交于M,N两点,过点M作,垂足为
①求证:直线ND过定点,并求出定点的坐标;
②点为坐标原点,求面积的最大值.
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6 . 已知双曲线的一条渐近线为,实轴长为,为上一点.
(1)求双曲线的方程;
(2)(i)证明:直线与双曲线相切于点;
(ii)若直线与双曲线相切,为双曲线的右焦点,且,试判断点是否在定直线上,若在定直线上,求出该直线方程;若不在定直线上,请说明理由.
(1)求双曲线的方程;
(2)(i)证明:直线与双曲线相切于点;
(ii)若直线与双曲线相切,为双曲线的右焦点,且,试判断点是否在定直线上,若在定直线上,求出该直线方程;若不在定直线上,请说明理由.
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7 . 已知为坐标原点,抛物线上一点到其准线的距离为3,过的焦点的直线交于两点,则下列选项正确的是( )
A.过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条 |
B.当时, |
C.为钝角三角形 |
D.的最小值为 |
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8 . 已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若,,,求a的取值范围.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若,,,求a的取值范围.
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9 . 已知函数().
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)若当时,函数取得极大值,求实数的取值范围.
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)若当时,函数取得极大值,求实数的取值范围.
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10 . 设,记,令有穷数列为零点的个数,则有以下两个结论:①存在,使得为常数列;②存在,使得为公差不为零的等差数列.那么( )
A.①正确,②错误 | B.①错误,②正确 |
C.①②都正确 | D.①②都错误 |
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