1 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：．

2 . 当时，定义，.
（1）求证：，；
（2）设，求函数有两个零点的充要条件．

3 . 已知函数.
（1）若在处的切线方程为，求实数，的值：
（2）求证：当时，在上有两个极值点：
（3）设，若在单调递减，求实数的取值范围.（其中为自然对数的底数）

4 . 如图，已知动圆过点，且在轴上截得弦的长为4.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知，过点的直线交轨迹于，两点，直线，分别与轨迹交于，两点，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

5 . 已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

6 . 已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

7 . 已知函数，其中，且
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数是自然对数的底数），是否存在，使在，上是减函数？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．