1 . 已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，，使得.

2 . 已知函数.
(1)证明：；
(2)若，求c的取值范围；

3 . 已知椭圆：的离心率为，、分别是其左、右焦点，若是椭圆上的右顶点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（与不重合），问直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

4 . 已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求a，b的值，并求函数的单调区间；
(2)证明：．

5 . 已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)证明：函数仅有一个零点.

6 . 设函数．
（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；
（2）求证：．

7 . 平面上两定点，动点满（为常数）．
（Ⅰ）说明动点的轨迹（不需要求出轨迹方程）；
（Ⅱ）当时，动点的轨迹为曲线，过的直线与交于两点，已知点，证明：．

8 . 已知椭圆C：（0＜b＜2）的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过中心O的弦．
（1）求面积的最大值；
（2）动直线与椭圆交于A，B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．

9 . 已知函数，，
（1）若m=3，证明：f(x)在(1,2)内存在零点.
（2）若对，，总有f(x₁)<g(x₂)，求m的取值范围.

10 . 已知椭圆的离心率，为椭圆的右焦点，，为椭圆的上、下顶点，且的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线与椭圆交于，两点，证明：在第一象限内存在定点，使得当直线与直线的斜率均存在时，其斜率之和是与无关的常数，并求出所有满足条件的定点的坐标．