1 . 已知函数．
(1)证明函数有唯一极小值点；
(2)若，求证：．

3 . 已知数列为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)证明：．

4 . 对于正实数有基本不等式：，其中，为的算术平均数，，为的几何平均数．现定义的对数平均数：
(1)设，求证：：
(2)①证明不等式：：
②若不等式对于任意的正实数恒成立，求正实数的最大值．

5 . 已知函数，.
(1)证明：对，；
(2)若关于的方程有两个实根，且，证明：.

6 . 设椭圆的左焦点为．过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且．
(1)求证：，并求椭圆C的方程；
(2)设是椭圆C上顺时针依次排列的四个点，求四边形面积的最大值并计算此时的的值．

7 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过定点的动直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等.

8 . 已知函数在处的切线的斜率为1．
(1)求的值及的最大值．
(2)证明：
(3)若，若恒成立，求实数的取值范围．

9 . 已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程有两个不同的实数根，证明：.

10 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若为函数的正零点，证明：．