1 . 设函数为定义在区间上的可导函数,记的导函数为,若对,都有或恒成立,则称为区间上的“原导同号函数”.
(1)证明:为上的“原导同号函数”;
(2)是否存在实数,使为上的“原导同号函数”,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由;
(3)若为上的“原导同号函数”,证明:.
(1)证明:为上的“原导同号函数”;
(2)是否存在实数,使为上的“原导同号函数”,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由;
(3)若为上的“原导同号函数”,证明:.
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2 . 已知函数.
(1)证明:;
(2)设函数,若恒成立,求的最小值;
(3)若方程有两个不相等的实根,求证:.
(1)证明:;
(2)设函数,若恒成立,求的最小值;
(3)若方程有两个不相等的实根,求证:.
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3 . 已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,,使得,求的取值范围.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,,使得,求的取值范围.
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4 . 已知奇函数在处取得极大值2.
(1)求的解析式;
(2)若,使得有解,求实数的取值范围.
(1)求的解析式;
(2)若,使得有解,求实数的取值范围.
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5 . 已知实数满足,则的值是__________ ,的取值集合是_______ .
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6 . 已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)证明:若曲线与直线有且仅有两个交点,求的取值范围.
(1)当时,求的单调区间;
(2)证明:若曲线与直线有且仅有两个交点,求的取值范围.
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7 . 已知函数.
(1)当时(为大于0的常数),求的最大值;
(2)若当时,不等式恒成立,求的取值范围.
(1)当时(为大于0的常数),求的最大值;
(2)若当时,不等式恒成立,求的取值范围.
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8 . 已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
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9 . 若函数的导函数在点可导,则称在点的导数值为在点的二阶导数,记作.若在开区间I内的每一点都二阶可导,则得到一个定义在I上的二阶导函数,记作.曲线上任意两点间的弧段总在这两点的下方;而曲线则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的上方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.拐点在统计学,物理学,经济学领域都有重要的应用.若函数在定义域内是一条连续不断的曲线,对任意的,的导函数都存在,且的导函数也都存在,若,使得,且在的左右附近,异号,则称点为曲线的拐点.已知函数,,.
(1)求在定义域内的拐点个数;
(2)若在上有唯一拐点,求实数k的取值范围;
(3)函数在区间恰有一个拐点,求实数a的取值范围.
(1)求在定义域内的拐点个数;
(2)若在上有唯一拐点,求实数k的取值范围;
(3)函数在区间恰有一个拐点,求实数a的取值范围.
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10 . 已知函数.
(1)当时,以点为切点作曲线的切线,求切线方程;
(2)证明:函数有3个零点;
(3)若在区间上有最小值,求的取值范围.
(1)当时,以点为切点作曲线的切线,求切线方程;
(2)证明:函数有3个零点;
(3)若在区间上有最小值,求的取值范围.
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