1 . 已知是关于x的方程的一个根.
(1)求p，q的值及方程的另一个根；
(2)若实系数一元二次方程在复数集C内的两根为，请猜想两根与实系数有怎样的结论?并用方程的根进行验证；
(3)若，则复平面内满足的动点的集合是什么图形?

2 . 我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算．

如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到．
(1)计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义；
(2)现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系；
(3)已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式．

3 . 欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，的共轭复数为_________.

4 . 设为虚数，为实数．
(1)求；
(2)设在复平面内对应的点为，以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角记为，求证：；
(3)若，，求的最小值．

5 . 已知复数，是方程的解，复平面内表示的点A在第四象限，O是原点．
(1)点A关于虚轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(2)将复数对应的向量绕原点逆时针旋转得到向量，对应的复数为，求的值；

6 . 由数学王子高斯证明出的代数基本定理的内容可知一元次多项式方程有个复数根，且对于一元二次方程，其两个复数根互为共轭复数．若复数是一元二次方程的一个根，则_______．

7 . 已知复数，其中为虚数单位，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（       ）

A．当时，为纯虚数

B．满足的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆

C．的虚部为

D．若且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根为

8 . 人们把一元三次方程的求根公式称为卡尔达诺公式，该公式为：对不完全的一元三次方程的三个根分别为：，，，其中，．
(1)求的三个根；
(2)求的三个根．

9 . 设复数，其在复平面内对应点为，且，复数，其在复平面内对应点为，且，若存在的轨迹上的两点、，使，则的取值范围为__________．

10 . 已知复数的实部分别为，虚部分别为，其中.
(1)求的取值范围；
(2)能否为纯虚数，若能，求；若不能，请说明理由.