1 . 如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为60°.

(1)求证：平面BDE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论.

2 . 椭圆，是椭圆的左右顶点，点P是椭圆上的任意一点.
（1）证明：直线，与直线，斜率之积为定值.
（2）设经过且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线交于点，求证：为定值.

3 . 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，．

   

(1)证明：平面；
(2)在线段（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由．

4 . 如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，.

(1)证明：；
(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值.

5 . 如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．

(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点A到平面的距离．

6 . 已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
(1)求曲线C的方程；
(2)设点P、T的横坐标分别为x₁，x₂，证明：x₁x₂＝1；
(3)设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S₁与S₂，且，求的取值范围．

7 . 如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证：．

8 . 在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，.

(1)求证：；
(2)若，线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆：()的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点，若点关于轴的对称点为，证明：直线与轴相交于定点.

10 . 如图所示，在中，，为边上一点，且，平面，，且.

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.