高中数学高三人教A版选修2-1 选修2-1试题/习题及答案-组卷网

2024·吉林延边·一模

填空题-单空题 | 较难(0.4) |

解题方法

几何体体积的求法渐近线综合问题

1 . 祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为

（

），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为____________．

2024-04-19更新 | 480次组卷 | 2卷引用：吉林省延边部分学校2024年普通高校招生考试模拟卷（一）数学试题

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2023·贵州毕节·模拟预测

单选题 | 适中(0.65) |

求椭圆的离心率或离心率的取值范围椭圆中三角形（四边形）的面积圆锥曲线新定义

名校

解题方法

直接法解决离心率问题面积问题

2 . 加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（）

A．椭圆的离心率为	B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为	D．长方形的面积的最大值为18

2023-08-03更新 | 1297次组卷 | 11卷引用：贵州省威宁彝族回族苗族自治县第八中学2023届高三数学（理）样卷（二）试题

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21-22高二·全国·课后作业

单选题 | 较易(0.85) |

星体运行轨道问题

名校

3 . 2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）．2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动，同时将近火点高度调整至约265km．若此时远火点距离约为11945km，火星半径约为3395km，则调整后天问一号的运行轨迹（环火轨道曲线）的焦距约为（）

A．11680km

B．5840km

C．19000km

D．9500km

2022-08-29更新 | 641次组卷 | 7卷引用：安徽省六校教育研究会2023届高三下学期入学素质测试数学试题

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2022·河北唐山·三模

单选题 | 适中(0.65) |

根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的长轴、短轴椭圆中的定值问题圆锥曲线新定义

名校

解题方法

待定系数法求椭圆方程定值问题

4 . 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率

与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆

的面积为

，两个焦点分别为

，点P为椭圆C的上顶点．直线

与椭圆C交于A，B两点，若

的斜率之积为

，则椭圆C的长轴长为（）

A．3

B．6

C．

D．

2022-05-20更新 | 1995次组卷 | 7卷引用：河北省唐山市2022届高三三模数学试题

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21-22高三上·河北·阶段练习

填空题-双空题 | 适中(0.65) |

余弦定理解三角形抛物线定义的理解抛物线的焦半径公式根据焦点或准线写出抛物线的标准方程

解题方法

定义法求焦半径

5 . 中国天眼FAST（500米口径球面射电天文望远镜），于2016年9月25日落成启用.天眼是当之无愧的国之重器，它的灵敏度是世界上排名第二的美国阿雷西博望远镜的三倍左右，它的直径达到了500米，它的反射面积相当于30个足球场的大小.如图是中国天眼的剖面，当我们观测某个方向的天体目标

时，在天体

和球心

到反射面点

的连线上选取一个点

作为抛物面的焦点，把以点

为中心周边的镜面通过下拉索拉动，使球面变形成抛物面（抛物面是指抛物线绕着他的对称轴旋转180°所得到的面），这个抛物面把天体目标发出的平行光聚焦到焦点

上，我们的接收机（馈源）就安装在这个焦点

上，可见虽然天眼是一个球面形状，但观测时球面已经变成抛物面了.若

垂直

并交于点

，

米，

米，则

___________米，

___________.

2022-01-05更新 | 786次组卷 | 2卷引用：河北省普通高中2022届高三上学期12月教学质量监测数学试题

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20-21高二下·广东广州·期中

多选题 | 较难(0.4) |

点与曲线的位置关系由方程研究曲线的性质

名校

解题方法

探究性试题

6 . 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线

是双纽线，则下列结论正确的是（）

A．曲线

经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

B．曲线

上任意一点到坐标原点

的距离都不超过2

C．曲线

关于直线

对称的曲线方程为

D．若直线

与曲线

只有一个交点，则实数

的取值范围为

2021-09-03更新 | 1418次组卷 | 5卷引用：数学与美术

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2021·江苏苏州·三模

填空题-双空题 | 适中(0.65) |

点与圆的位置关系求参数求实际问题中的抛物线方程

名校

解题方法

范围问题

7 . 如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽

cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为

的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为______ cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______(单位：cm)．

2021-05-28更新 | 1552次组卷 | 9卷引用：江苏省苏州市2021届高三下学期三模数学试题

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20-21高二上·四川巴中·期末

填空题-单空题 | 适中(0.65) |

求平面轨迹方程

8 . 阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数

（

且

）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知

的两个顶点

是定点，它们的坐标分别为

、

；另一个顶点

是动点，且满足

．则当

的面积最大时，

边上的高为___________．

2021-02-08更新 | 1424次组卷 | 2卷引用：专题1 阿波罗尼斯圆及其应用微点6 阿波罗尼斯圆综合训练

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20-21高二上·山东临沂·阶段练习

多选题 | 适中(0.65) |

由方程研究曲线的性质圆锥曲线新定义平面解析几何

名校

解题方法

探究性试题

9 . 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F₁(-1，0)和F₂(1，0）的距离的积等于常数

的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）

A．曲线C过坐标原点

B．曲线C关于坐标原点对称

C．曲线C关于坐标轴对称

D．若点在曲线C上，则

的面积不大于

2021-01-03更新 | 1146次组卷 | 11卷引用：专题7 笛卡尔

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20-21高二上·江苏镇江·阶段练习

填空题-单空题 | 适中(0.65) |

求椭圆的离心率或离心率的取值范围

名校

10 . 圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于

，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________.

2020-12-18更新 | 832次组卷 | 7卷引用：专题2 立体几何与解析几何

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