1 . 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且.

(1)证明：；
(2)当取何值时，直线与平面所成角最小?
(3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.

2 . 已知空间三点、、.
(1)若向量与平行，且，求的坐标；
(2)求以、为邻边的平行四边形的面积．

3 . 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且.

(1)证明：无论取何值，总有；
(2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值；
(3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.

5 . 如图，三棱柱所有棱长均为2，，侧面与底面垂直，，分别是线段，的中点．

(1)求证：；
(2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点，求锐二面角的余弦值的取值范围．

6 . 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．
   
(1)求的长；
(2)求异面直线与所成的角的余弦值．

7 . 已知空间三点，，．
(1)求以和为邻边的平行四边形的面积；
(2)试判别点与点，，是否共面？请说明理由．

8 . 如图所示，四棱锥中，底面，，为的中点，底面四边形满足，，．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值．

9 . 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.

(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.

10 . 如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面．

(1)证明：；
(2)求直线到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的正弦值．