1 . 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，
①求证：；
②是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.

2 . 已知椭圆经过点，且焦距为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，．
①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值；
②求四边形面积的最大值．

3 . 已知椭圆分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且.当直线轴时，.

(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率分别为，问是否为定值?并证明你的结论；
(3)直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.

4 . 如图，在四棱锥中，平面平面，，且，，，，，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

5 . 已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C为双曲线的一支；
(2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．

6 . 已知椭圆经过点，下顶点为抛物线的焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点均在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，
（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）当时，求直线的方程．

7 . 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.

   

(1)证明：平面；
(2)设点在线段上运动，平面与平面的夹角为，求的取值范围.

8 . 如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点.
   
(1)求圆柱的表面积；
(2)求二面角的余弦值.

9 . 已知双曲线C：过点，右焦点F为，左顶点为A
(1)求双曲线C的方程
(2)动直线交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上．

10 . 已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFP的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C的左顶点为A，求直线AM与直线AN的斜率之积．