1 . 设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为的右焦点，为上一点，轴，的半径为．
(1)求椭圆和的方程；
(2)若直线与交于，两点，与交于，两点，其中，在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程：若不存在，说明理由．

2 . 如图所示，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点O是AC与BD的交点，点E是线段OD₁上的一点.

（1）若点E为OD₁的中点，求直线OD₁与平面CDE所成角的正弦值；
（2）是否存在点E，使得平面CDE⊥平面CD₁O？若存在，请指出点E的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.

4 . 如图，已知平面，，为等边三角形，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值的大小.

5 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，关于直线的对称点为斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于，两点．
   
（1）求椭圆的标准方程．
（2）求四边形的面积取值范围．

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．

7 . 如图，在棱长为的正方体中，、、、分别是棱、、、的中点，点、分别在棱、上移动，且.

（1）当时，证明：直线平面；
（2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

8 . 给出下列两个命题：
命题：函数在定义域上单调递增；
命题：不等式的解集为.
若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围.

9 . 如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面为上一点，且．

（1）求的长；
（2）求二面角的余弦值．

10 . 椭圆的离心率为，其任意三个顶点构成的三角形面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上关于轴对称的两点，是椭圆上不同于的一点，直线分别交轴于，证明为定值．