1 . 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
   
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．

2 . 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F分别为PD，PC的中点．

(1)求证：平面PAD；
(2)求平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值.

3 . 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，且的面积为，其中为坐标原点.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，若直线，关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标.

4 . 如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，是斜边PA的长为的等腰直角三角形，E，F分别是棱PA，PC的中点，M是棱BC上一点．

(1)求证：平面平面PBC；
(2)若直线MF与平面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值．

5 . 如图，四棱锥中，底面是矩形，，.为上的点，且平面；

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.

6 . 在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，平面平面ABCD，，E为PA中点．

(1)求证：平面PBC；
(2)已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角的余弦值为？若存在，请求出PN的长；若不存在，请说明理由．

7 . 数学家Dandelin用来证明一个平面截圆柱得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.如图，在圆柱内放两个大小相同的小球，使得两球球面分别与圆柱侧面相切于以为直径且平行于圆柱底面的圆和，两球球面与斜截面分别相切于点，点为斜截面边缘上的动点，则这个斜截面是椭圆.若图中球的半径为3，球心距离，则所得椭圆的离心率是___________.

8 . 如图，已知圆柱，过轴的截面图形为正方形，点在底面圆周上，且，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.

9 . 如图在边长是的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

(1)证明：平面；
(2)证明：平面．

10 . 如图．在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)若点M在线段上且满足．求直线CM与所成角的正弦值．