1 . 已知函数和，它们的图像分别为曲线和.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：曲线和有唯一交点；
(3)设直线与两条曲线共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，求证：成等比数列.

2 . 已知函数恰有三个零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：① ；② .（两者选择一个证明）

3 . 知函数．
(1)求函数的单调区间和最小值；
(2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
(3)若，求证：．

4 . 已知实数，函数，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)求证：存在极值点，并求的最小值.

5 . 已知函数．
(1)若，求函数的图像在处的切线方程；
(2)若，求函数的单调区间；
(3)若，已知函数有两个相异零点，求证：．

6 . 已知函数．
(1)证明：；
(2)设函数，，其中，若函数存在非负的极小值，求a的取值范围．

8 . 已知函数.
(1)判断函数零点的个数，并证明；
(2)证明：.

9 . 已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，设是的两个极值点，求证；．

10 . 设函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求证：对任意.