2021高三·全国·竞赛
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1 . 已知P、Q分别是圆
与圆
上的点，O是坐标原点，则
的最小值为__________ ．
与圆上的点，O是坐标原点，则的最小值为
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2 . 设a是实数，关于z的方程(z2－2z+5)(z2+2az+1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是________ .
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3 . 已知
是双曲线
的两个焦点，M是该双曲线右支上的点，O为坐标原点.若
,则点M的坐标为________ .
是双曲线的两个焦点，M是该双曲线右支上的点，O为坐标原点.若,则点M的坐标为
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4 . 在平面直角坐标系上，已知点
，
，
是平面上的一个动点，设
，
，满足
.
（1）求
的取值范围；
（2）求点的轨迹，并画出它的图像.
，，是平面上的一个动点，设，，满足.（1）求
的取值范围；（2）求点
的轨迹，并画出它的图像.
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5 . 设椭圆
（
）的右顶点为
.如果椭圆上存在一点使得
（
为坐标原点），则
的取值范围是______ .
（）的右顶点为.如果椭圆上存在一点使得（为坐标原点），则的取值范围是
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6 . 在区域
中，所能含的圆的最大半径为______ .
中，所能含的圆的最大半径为
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7 . 当
、
取遍所有实数时，
的最小值是______ .
、取遍所有实数时，的最小值是
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8 . 已知抛物线
，
、
是
轴上的两点
，过点
、
分别作轴的垂线，与抛物线
分别交于点
、
，直线
与轴交于点
，这样就称
、
确定了
. 同样，可由、确定
，…. 已知
，
. 求
的值.
，、是轴上的两点，过点、分别作轴的垂线，与抛物线分别交于点、，直线与轴交于点，这样就称、确定了. 同样，可由、确定，…. 已知，. 求的值.
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9 . 已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，为椭圆上一点.
中
的外角平分线为
，点关于的对称点为
，
交于点
.
（1）当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线
：
与曲线交于点、
，
的面积为
，求取得最大值时
的值.
、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点.中的外角平分线为，点关于的对称点为，交于点.（1）当点
在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）设点
的轨迹为曲线，直线：与曲线交于点、，的面积为，求取得最大值时的值.
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10 . 如图，是双曲线
的右顶点，过的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点
.问：直线
是否一定过轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点，试求出这个定点的坐标.
是双曲线的右顶点，过的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点.问：直线是否一定过轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点，试求出这个定点的坐标.
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