1 . 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵.
(1)当时，计算；
(2)若，判断并证明当增大时，的变化趋势；
(3)若，随机变量所有可能的取值为，且，证明：.

2 . 已知函数．
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)若，求实数的值．

3 . 已知函数是奇函数，且.
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.

4 . 函数是定义在R上的偶函数，，且当时，．
(1)用定义证明在上是减函数；
(2)解关于x的不等式．

5 . 已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并利用定义证明你的结论；
(3)设函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围.

6 . 已知函数．
(1)求的解析式；
(2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．

7 . 已知函数．
(1)若在定义域内为单调递减函数，求a的取值范围；
(2)求证：当且时，．

8 . 已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a、b的值；
(2)用定义证明在上为减函数；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围

9 . 已知函数.
(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若方程有两个实根，，且，求证：.
参考数据：，.

10 . 已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求的值，并判断函数的单调性（给出判断即可，不需要证明）；
(2)若对于任意，，且，都有恒成立，求实数的取值范围．