1 . 对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”；对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格函数”.
(1)若函数，是“函数”，求k的取值范围；
(2)对于定义域为的函数对任意的正实数，均是“严格函数”，若，求实数a的最小值.

2 . 若定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（t为常数），则称与具有关系．已知函数，．
(1)若函数，，判断与是否具有关系，并说明理由；
(2)若函数，，且与具有关系，求a的最大值；
(3)若函数，，且与具有关系，求m的取值范围．

3 . 已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围．

4 . 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.
(1)判断函数，是否具有性质，并说明理由；
(2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

5 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求证：；
(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

6 . 已知．
(1)求函数的定义域和奇偶性；
(2)写出的单调性（只需写出结果即可）；
(3)设，若，总，使得成立，求实数m的取值范围．

7 . 若函数为定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值，并判断函数的单调性；
(2)若对任意的实数，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

8 . 定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当，函数取得最小值为．
(1)求出此函数的解析式；
(2)是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
(3)若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值．

9 . 已知.
(1)求的单调递增区间；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
(3)已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，求的值.

10 . 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围．