1 . 已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数．
(1)用表示；
(2)求证：对一切正整数n，的充要条件是；
(3)若，记证明数列成等比数列，并求数列的通项公式．

2 . 设函数，.
（1）若函数在点处的切线方程为，求实数，的值；
（2）在（1）的条件下，当时，求证：；
（3）证明：对于任意正整数，不等式.

3 . 已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)求证：．（参考数据：）

4 . 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.

5 . 已知质数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求m的值；
(2)证明：对一切，都有．

6 . 已知函数. 其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程;
(2)设函数 且    恒成立.
①求m的取值范围；
②的极小值点为， 求证:

7 . 已知函数
(1)若求曲线在点处的切线方程．
(2)若证明：在上单调递增．
(3)当时，恒成立，求的取值范围．

8 . 已知函数．
(1)求曲线的平行于x轴的切线的切点横坐标；
(2)证明曲线与x轴恰有两个交点．

9 . 令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点处作抛物线的切线交轴于；在点处作抛物线的切线，交轴于；在点处作抛物线的切线，交轴于；由此能得到一个数列，且数列满足，，.回答下列问题.
(1)设，求的解析式；
(2)证明数列是等比数列并求
(3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.

10 . 过点作曲线（，常数，）的切线．切点为，点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为，点在x轴上的投影是点；……依此类推，得到一系列点，，…，，设点的横坐标为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)求证：．