1 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)，，求的最小值；
(3)若在区间存在零点，求的取值范围.

2 . 已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)已知存在，使得在上恒成立，若方程有解，求实数的取值范围.

3 . 已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
(1)求的极值；
(2)若实数满足，记，求实数的最小值.

4 . 已知质数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求m的值；
(2)证明：对一切，都有．

5 . 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数， 是的导函数，则曲线在点处的曲率
(1)求曲线在的曲率；
(2)已知函数，求曲率的平方的最大值；
(3)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围.

6 . 定义：函数满足对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．
(1)若，判断是否为上的“2类函数”；
(2)若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，．

7 . 已知函数，．
(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．
(2)若，，证明：．

8 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在上的最值．

9 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值集合．

10 . 已知函数（其中常数），，是函数的一个极值点.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.