名校
1 . 阅读材料一:“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667~1748)的儿子丹尼尔·伯努利提出来的,大意如下:一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封,他把这封信都装错了信封,问都装错信封的这一情况有多少种?后来瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707~1783)给出了解答:记都装错封信的情况为种,可以用全排列减去有装正确的情况种数,结合容斥原理可得公式:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
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名校
2 . 有一种速度叫“中国速度”,“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知.由于地形等原因,在修建高铁、公路、桥隧等基建中,我们常用曲线的曲率(Curvature)来刻画路线弯曲度.如图所示的光滑曲线上的曲线段AB,设其弧长为,曲线在A,B两点处的切线分别为,记的夹角为,定义为曲线段的平均曲率,定义为曲线在其上一点处的曲率.(其中为的导函数,为的导函数)
(2)记圆上圆心角为的圆弧的平均曲率为.
①求的值;
②设函数,若方程有两个不相等的实数根,证明:,其中为自然对数的底数,.
(1)若,求;
(2)记圆上圆心角为的圆弧的平均曲率为.
①求的值;
②设函数,若方程有两个不相等的实数根,证明:,其中为自然对数的底数,.
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名校
3 . 已知函数
(1)讨论的零点个数;
(2)当时,| 求a的取值范围.
(1)讨论的零点个数;
(2)当时,| 求a的取值范围.
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2024-04-04更新
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1281次组卷
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2卷引用:重庆市第八中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
名校
解题方法
4 . 定义:若是的导数,是的导数,则曲线在点处的曲率;已知函数,,曲线在点处的曲率为;
(1)求实数a的值;
(2)对任意恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设方程在区间内的根为,…比较与的大小,并证明.
(1)求实数a的值;
(2)对任意恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设方程在区间内的根为,…比较与的大小,并证明.
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名校
5 . 已知实数,函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围,
(2)设是方程的实根,证明:.
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2024-03-19更新
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731次组卷
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2卷引用:2024届高三下学期3月适应性考试数学试题(新高考金卷)
6 . 已知函数,,.
(1)判断是否对恒成立,并给出理由;
(2)证明:
①当时,;
②当,时,.
(1)判断是否对恒成立,并给出理由;
(2)证明:
①当时,;
②当,时,.
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2024-03-12更新
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1011次组卷
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8卷引用:重庆市部分学校2023-2024学年高二下学期4月阶段检测数学试题
名校
解题方法
7 . 已知函数在上是增函数.为自然对数的底数
(1)求实数的取值范围;
(2)证明:,其中
(1)求实数的取值范围;
(2)证明:,其中
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名校
解题方法
8 . 已知双曲线,直线为其中一条渐近线,为双曲线的右顶点,过作轴的垂线,交于点,再过作轴的垂线交双曲线右支于点,重复刚才的操作得到,记.
(1)求的通项公式;
(2)过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于,记,求证:.
(1)求的通项公式;
(2)过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于,记,求证:.
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2024-02-06更新
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634次组卷
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2卷引用:重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期定时练习(三)数学试题
名校
解题方法
9 . 若函数在定义域内存在两个不同的数,,同时满足,且在点,处的切线斜率相同,则称为“切合函数”.
(1)证明:为“切合函数”;
(2)若为“切合函数”(其中为自然对数的底数),并设满足条件的两个数为,.
(ⅰ)求证:;
(ⅱ)求证:.
(1)证明:为“切合函数”;
(2)若为“切合函数”(其中为自然对数的底数),并设满足条件的两个数为,.
(ⅰ)求证:;
(ⅱ)求证:.
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2024-01-03更新
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1006次组卷
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4卷引用:重庆市南开中学校2024届高三上学期第五次质量检测数学试题
重庆市南开中学校2024届高三上学期第五次质量检测数学试题重庆市沙坪坝区南开中学校2024届高三上学期第五次质量检测数学试题江西省赣州市南康中学2024届高三上学期新高考“七省联考”考前数学猜题卷(一)(已下线)微考点2-5 新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编
名校
解题方法
10 . 设函数,.
(1)①当时,证明:;
②当时,求的值域;
(2)若数列满足,,,证明:().
(1)①当时,证明:;
②当时,求的值域;
(2)若数列满足,,,证明:().
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2023-12-30更新
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1046次组卷
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4卷引用:重庆市育才中学、万州高级中学及西南大学附中2024届高三上学期12月三校联考数学试题
重庆市育才中学、万州高级中学及西南大学附中2024届高三上学期12月三校联考数学试题广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期大湾区数学预测卷(一)四川省成都市第七中学2024届高三上学期期末数学(理)试题(已下线)微考点2-5 新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编