1 . 已知数列中，，（，），且是和的等差中项．
(1)求实数的值；
(2)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式．

2 . 记数列的前n项和为，对任意，有．
(1)证明：为等差数列；
(2)求数列的前n项和．

3 . 已知等差数列与等比数列满足 ， ， ，且既是和的等差中项，又是其等比中项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求证：.

4 . 设数列的前项和为，当时，有．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，求的最大值．

5 . 已知双曲线C；经过点，右焦点为，且成等差数列.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l:上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明:是定值.

6 . 已知数列的前项和为，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和．

7 . 已知数列满足为等比数列.
(1)证明：是等差数列，并求出的通项公式.
(2)求的前项和为.

8 . 给定数列，若满足且，对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列".
(1)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列"？若是，请给出证明，若不是，请说明理由;
(2)若数列是“指数型数列”，且，证明:数列中任意三项都不能构成等差数列.

9 . 已知单调递增的等差数列满足，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和，求证：.

10 . 在数列中，，且．
(1)证明：是等差数列；
(2)求的前项和．