1 . 已知
是各项均为正整数的无穷递增数列，对于
，定义集合
，设
为集合
中的元素个数，若
时，规定
.
(1)若
，写出
及
的值；
(2)若数列
是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合
，求证：
且
.
是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.(1)若
，写出及的值；(2)若数列
是等差数列，求数列的通项公式；(3)设集合
，求证：且.
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2 . 已知数列
各项均不为0，
，且
（
为非零常数）．
(1)求证：
为等差数列；
(2)已知数列的前
项和为
．
①求证：
；
②若数列
的前10项和为550，求的值．
各项均不为0，，且（为非零常数）．(1)求证：
为等差数列；(2)已知数列
的前项和为．①求证：
；②若数列
的前10项和为550，求的值．
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2024·全国·模拟预测
解题方法
3 . 已知数列的前项积为
．
(1)求证：数列
是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令
，求数列
的前项和．
的前项积为．(1)求证：数列
是等差数列，并求数列的通项公式；(2)令
，求数列的前项和．
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4 . 已知在数列中，
．
(1)令
，证明：数列是等比数列；
(2)设
，证明：数列
是等差数列．
中，．(1)令
，证明：数列是等比数列；(2)设
，证明：数列是等差数列．
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23-24高二上·陕西榆林·期末
5 . 已知数列满足
，
，记
.
(1)求
，
；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)求数列的前项和.
满足，，记.(1)求
，；(2)求证：数列
是等差数列；(3)求数列
的前项和.
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2024·全国·模拟预测
6 . 已知数列满足
，且对任意的正整数，总有
．
(1)求
；
(2)设数列的前项和为，求证：
．
满足，且对任意的正整数，总有．(1)求
；(2)设数列
的前项和为，求证：．
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名校
解题方法
7 . 已知数列满足
.
(1)求证：
是等差数列.
(2)求数列的通项公式.
满足.(1)求证：
是等差数列.(2)求数列
的通项公式.
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23-24高二上·吉林白山·期末
解题方法
8 . 已知数列的前项和，点
在曲线
上.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若数列满足
，求数列的前99项和
.
的前项和，点在曲线上.(1)证明：数列
为等差数列；(2)若数列
满足，求数列的前99项和.
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23-24高三上·安徽·阶段练习
解题方法
9 . 已知数列满足：
，
，
，
.
(1)证明：数列
为等差数列，并写出数列的通项；
(2)求数列
的前项和.
满足：，，，.(1)证明：数列
为等差数列，并写出数列的通项；(2)求数列
的前项和.
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10 . 记为数列的前项和，已知：
，
（
）．
(1)求证：数列
是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求和：
．
为数列的前项和，已知：，（）．(1)求证：数列
是等差数列，并求数列的通项公式；(2)求和：
．
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