1 . 如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.

2 . 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为线段，上的点，且，，.

(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角．

3 . 如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.

4 . 如图，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在线段上.

（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长度.

5 . 如图，直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．

（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求二面角A-MA₁-N的正弦值．

6 . 已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（1）试在平面内作一条直线，使直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

7 . 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为上的点，且平面

（1）求证：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．

8 . 在正方体中，点分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为___________.

9 . 如图，矩形所在平面，，、分别是、的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值.

10 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，，，，．

(1)求证：平面PCA⊥平面PCD；
(2)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角的余弦值．