1 . 已知函数
(1)若
，求函数的严格减区间
(2)若方程
在实数集上有四个解，求实数
的取值范围
(3)若
，数列
满足
．是否存在
使得数列
严格递减？存在的话．求出所有这样的；不存在的话．说明理由
(1)若
，求函数的严格减区间(2)若方程
在实数集上有四个解，求实数的取值范围(3)若
，数列满足．是否存在使得数列严格递减？存在的话．求出所有这样的；不存在的话．说明理由
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名校
解题方法
2 . 已知代数式
和
.
(1)若
，
，求不等式
的解集；
(2)右，
，证明：、中至少有一个数不小于
.
和.(1)若
，，求不等式的解集；(2)右
，，证明：、中至少有一个数不小于.
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2023-10-18更新
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100次组卷
|
2卷引用：上海市吴淞中学2023-2024学年高一上学期第一次调研（10月）数学试题
名校
3 . 对于无穷数列
，设集合
，若
为有限集，则称为“
数列”．
(1)已知数列满足
，
，判断是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知
，数列满足
，若为“数列”，求首项的值；
(3)已知
，若为“数列”，试求实数
的取值集合．
，设集合，若为有限集，则称为“数列”．(1)已知数列
满足，，判断是否为“数列”，并说明理由；(2)已知
，数列满足，若为“数列”，求首项的值；(3)已知
，若为“数列”，试求实数的取值集合．
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解题方法
4 . 已知
是定义在
上的函数，对于上任意给定的两个自变量的值
，当
时，如果总有
，就称函数为“可逆函数”.
(1)判断函数
是否为“可逆函数”，并说明理由；
(2)已知函数
在区间
上是增函数，证明：
是“可逆函数”；
(3)证明：函数
是“可逆函数”的充要条件为“
”.
是定义在上的函数，对于上任意给定的两个自变量的值，当时，如果总有，就称函数为“可逆函数”.(1)判断函数
是否为“可逆函数”，并说明理由；(2)已知函数
在区间上是增函数，证明：是“可逆函数”；(3)证明：函数
是“可逆函数”的充要条件为“”.
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2023-01-12更新
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231次组卷
|
2卷引用：上海市浦东新区2022-2023学年高一上学期期末数学试题
1984·全国·高考真题
真题
5 . 设
，给定数列
，其中
．求证：
(1)
，且
；
(2)如果
，那么
；
(3)如果
，那么当
时，必有
．
，给定数列，其中．求证：(1)
，且；(2)如果
，那么；(3)如果
，那么当时，必有．
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名校
解题方法
6 . 我们用
表示某个关于
的代数式，现在有如下两个关于的真命题：
①对任意的实数
、
，都有
；
②对任意的实数、，都有
成立；
其中
是大于
的常数．设实数
、、
满足条件
且
．
(1)证明：
；
(2)证明：
；
(3)证明：
．
表示某个关于的代数式，现在有如下两个关于的真命题：①对任意的实数
、，都有；②对任意的实数
、，都有成立；其中
是大于的常数．设实数、、满足条件且．(1)证明：
；(2)证明：
；(3)证明：
．
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名校
解题方法
7 . 已知函数
．若存在
使得
是严格增函数，那么称为“缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当
时，
．）
(1)判断以下函数是否是“缓降函数”①
②
（无需写出理由）；
(2)求证：
是“缓降函数”；
(3)已知
，求证：
是“缓降函数”的充要条件是
．
．若存在使得是严格增函数，那么称为“缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当时，．）(1)判断以下函数是否是“缓降函数”①
②（无需写出理由）；(2)求证：
是“缓降函数”；(3)已知
，求证：是“缓降函数”的充要条件是．
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8 . 将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列
称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”
.若{bn}各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”.
(1)若数列为
，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由；
(2)已知共100项的等比数列为递减数列，且
，公比为q.若存在“完美互补子列”，求证：
；
(3)数列满足
.设共有
对“完美互补子列”，求证：当
和
时，都存在“完美互补子列”且
.
中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”.若{bn}各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”.(1)若数列
为，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由；(2)已知共100项的等比数列
为递减数列，且，公比为q.若存在“完美互补子列”，求证：；(3)数列
满足.设共有对“完美互补子列”，求证：当和时，都存在“完美互补子列”且.
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9 . 在数列
中，若对任意的
，都有
成立，则称数列为“差增数列”．
(1)试判断
，是否为“差增数列”，并说明理由；
(2)若数列
为“差增数列”，且
，
，对于给定得正整数
，求使得的前项的和
最小时，的通项公式；
(3)若数列
为“差增数列”，且
，，且
，求证：
．
中，若对任意的，都有成立，则称数列为“差增数列”．(1)试判断
，是否为“差增数列”，并说明理由；(2)若数列
为“差增数列”，且，，对于给定得正整数，求使得的前项的和最小时，的通项公式；(3)若数列
为“差增数列”，且，，且，求证：．
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解题方法
10 . 对于定义域为的函数
，区间
若
，则称为
上的闭函数：若存在常数
，对于任意的
，都有
，则称为上的压缩函数.
(1)判断命题“函数
既是闭函数，又是压缩函数”的真假，并说明理由；
(2)已知函数是区间[0，1]上的闭函数，且是区间[0，1]上的压缩函数，求函数在区间[0，1]上的解析式，并说明理由；
(3)给定常数
，以及关于的函数
，是否存在实数
，使得是区间[a，b]上的闭函数，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由.
的函数，区间若，则称为上的闭函数：若存在常数，对于任意的，都有，则称为上的压缩函数.(1)判断命题“函数
既是闭函数，又是压缩函数”的真假，并说明理由；(2)已知函数
是区间[0，1]上的闭函数，且是区间[0，1]上的压缩函数，求函数在区间[0，1]上的解析式，并说明理由；(3)给定常数
，以及关于的函数，是否存在实数，使得是区间[a，b]上的闭函数，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由.
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