【推荐1】如图，三棱锥中，平面平面，，，，，，点是棱的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设点是线段的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

【推荐2】如图，在三棱柱中，，，平面平面分别为的中点．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若平面平面，且，求的长度．

【推荐1】长方体中，，，分别为棱上的动点，且 ，

图1                                                    图2

(1)如图1，当时，求证：直线平面；
(2)如图2，当，且的面积取得是大值时，求点B到平面的距离；
(3)当时，求从点经此长方体表面到达点最短距离.

【推荐2】如图，直四棱柱中，底面为菱形，且，，为的延长线上一点，平面，设.

（1）求平面和平面所成角的大小.
（2）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知空间向量列，如果对于任意的正整数，均有，则称此空间向量列为“等差向量列”，称为“公差向量”；空间向量列，如果且对于任意的正整数，均有，，则称此空间向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”.
(1)若是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求；
(2)若是“等差向量列”，，记，且，等式对于和2均成立，且，求的最大值.

【推荐1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面PBC，，．

(1)求证：；
(2)若PD与平面PBC所成的角为，求二面角的余弦值．

【推荐2】在图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，，平面平面ABCD，，，是边长为2的正三角形．

证明：平面ACF；
若点P在线段EF上，且二面角的余弦值为，求的值．

【推荐1】如图，三棱柱的底面为等边三角形，，点D，E分别为AC，的中点，，．

(1)求点到平面BDE的距离；
(2)求二面角的余弦值．

【推荐2】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，点为棱的中点..

证明：平面.
若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.

【推荐3】如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.

(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；
(2)若，求锐二面角的大小.