公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢
(
，
)局，谁便赢得全部奖金
元．每局甲赢的概率为
，乙赢的概率为
，且每场比赛相互独立．在甲赢了
局，乙赢了
局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比
分配奖金．
(1)规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．若
，
，
，
，求．
(2)记事件
为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当
，，
时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率
，并判断当
时，事件是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件．
(，)局，谁便赢得全部奖金元．每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立．在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．(1)规定如果出现无人先赢
局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．若，，，，求．(2)记事件
为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件．
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江苏省南京市教学研究室2022届高三下学期高考前辅导数学试题（已下线）考向40 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（七大经典题型）-1（已下线）专题21 概率与统计的综合运用（13大题型）（练习）
更新时间：2022-05-28 16:17:47
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解答题
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适中
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解题方法
【推荐1】已知函数
.
(1)当
时，求函数
的最大值；
(2)若
，且对任意的
恒成立，求实数
的取值范围．
.(1)当
时，求函数的最大值；(2)若
，且对任意的恒成立，求实数的取值范围．
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解答题-问答题
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(0.65)
名校
【推荐2】某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分．若第一道题答错，不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，后2道题均需作答．5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三1班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为
，且每人答每道题都是相互独立的．
(1)若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为
，求的最大值和最大值点
的值；
(2)以（1）中确定的作为p的值，求“领航队”积分成绩
的数学期望．
，且每人答每道题都是相互独立的．(1)若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为
，求的最大值和最大值点的值；(2)以（1）中确定的
作为p的值，求“领航队”积分成绩的数学期望．
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【推荐1】某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供、
两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为
、购买的概率为
，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为
、购买产品的概率为
，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为
、购买产品的概率也是，如此往复.记某人第
次来购买产品的概率为
.
(1)求
，并证明数列
是等比数列；
(2)经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备、产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.
、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为、购买的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率也是，如此往复.记某人第次来购买产品的概率为.(1)求
，并证明数列是等比数列；(2)经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备
、产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.
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名校
解题方法
【推荐2】（1）若和
是两个互斥事件，求证：
；
（2）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为
，其中
为显性基因，
为隐性基因，且这三种基因型的比为
，如果在子二代中任意选取
株豌豆进行杂交试验，试求出子三代中基因型为
的概率.
和是两个互斥事件，求证：；（2）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为
，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为，如果在子二代中任意选取株豌豆进行杂交试验，试求出子三代中基因型为的概率.
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【推荐3】据悉从2021年起，江西省将进行新高考改革，在选科方式、试卷形式、考查方法等方面都有很大的变化.在数学学科中，变化如下：新高考不再分文理科数学，而是采用一套试题测评；新高考增加了多选题，给各种层次的学生更大的发挥空间；新高考引入开放性试题，能有效地考查学生建构数学问题、分析问题、解决问题的能力.已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分
分，全部选对得分，漏选得
分，有错误选项的或不选的得
分，每道多选题共有
个选项，正确答案往往为项或项．为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组通过研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为，现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜．
（1）若学生甲乱猜某多选题答案，在已知该题正确答案是“选两项”的条件下，求他不得分的概率；
（2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，分别求出甲和乙答一道多选题得分的期望，看看谁的策略得分更高？
分，全部选对得分，漏选得分，有错误选项的或不选的得分，每道多选题共有个选项，正确答案往往为项或项．为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组通过研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为，现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜．（1）若学生甲乱猜某多选题答案，在已知该题正确答案是“选两项”的条件下，求他不得
分的概率；（2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，分别求出甲和乙答一道多选题得分的期望，看看谁的策略得分更高？
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名校
解题方法
【推荐1】为了丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球个人赛，有甲、乙、丙、丁四位同学参加，甲与其他三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据甲最近分别与乙、丙、丁比赛的情况，得到如下统计表：
以上表中的频率作为概率，求解下列问题.
(1)如果甲按照第一场与乙比赛、第二场与丙比赛、第三场与丁比赛的顺序进行比赛.
（ⅰ）求甲至少胜一场的概率；
（ⅱ）如果甲胜一场得2分，负一场得0分，设甲的得分为，求的分布列与期望；
(2)记“甲与乙、丙、丁进行三场比赛中甲连胜二场”的概率为
，那么以什么样的出场顺序才能使概率最大，并求出的最大值.
| 乙 | 丙 | 丁 | |
| 比赛的次数 | 60 | 60 | 50 |
| 甲获胜的次数 | 20 | 30 | 40 |
(1)如果甲按照第一场与乙比赛、第二场与丙比赛、第三场与丁比赛的顺序进行比赛.
（ⅰ）求甲至少胜一场的概率；
（ⅱ）如果甲胜一场得2分，负一场得0分，设甲的得分为
，求的分布列与期望；(2)记“甲与乙、丙、丁进行三场比赛中甲连胜二场”的概率为
，那么以什么样的出场顺序才能使概率最大，并求出的最大值.
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【推荐2】2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场､流动商贩列为文明城市测评考核内容.6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎，现有甲､乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为，乙在A点的命中率为
，在B点的命中率为
，且他们每次套圈互不影响.
（1）若甲在A处套圈4次，求甲至少命中2次的概率；
（2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为，乙的得分为
，写出和的分布列和期望；
（3）在（2）的条件下，若
，求的取值范围
，乙在A点的命中率为，在B点的命中率为，且他们每次套圈互不影响.（1）若甲在A处套圈4次，求甲至少命中2次的概率；
（2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为
，乙的得分为，写出和的分布列和期望；（3）在（2）的条件下，若
，求的取值范围
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解题方法
【推荐3】随着芯片技术的不断发展，手机的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提升．某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为
，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为
，已知第1关的难度为“容易”．
(1)求第3关的难度为“困难”的概率；
(2)用表示第关的难度为“困难”的概率，求．
，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，已知第1关的难度为“容易”．(1)求第3关的难度为“困难”的概率；
(2)用
表示第关的难度为“困难”的概率，求．
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解题方法
【推荐1】某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取2个，求恰好有1个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)
（2）用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，求抽取到1个精品果的概率；(结果用分数表示）
（3）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案1:不分类卖出，售价为20元／
，
方案2:分类卖出，分类后的水果售价如下，
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(用数据分析）
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
个数 | 10 | 30 | 40 | 20 |
（2）用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，求抽取到1个精品果的概率；(结果用分数表示）
（3）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案1:不分类卖出，售价为20元／
，方案2:分类卖出，分类后的水果售价如下，
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
| 售价(元／) | 16 | 18 | 22 | 24 |
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【推荐2】新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由
三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为
）；工序的加工质量层次为高，
工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为
）；其余均为95级（表示最低过滤效率为
）．表①：表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②：表示加工一个口罩的利润．
表①
表②
(1)设表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望；
(2)随机抽取3个口罩，求至少有一个口罩为100等级的概率；
(3)由于工厂中工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了
元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了
；试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则与应该满足怎样的关系？（直接写出结果）
三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；工序的加工质量层次为高，工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）．表①：表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②：表示加工一个口罩的利润．表①
| 工序 | | | |
| 概率 | | |  |
| 口罩等级 | 100等级 | 99等级 | 95等级 |
| 利润/元 | 2.3 | 0.8 | 0.5 |
表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望；(2)随机抽取3个口罩，求至少有一个口罩为100等级的概率；
(3)由于工厂中
工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了；试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则与应该满足怎样的关系？（直接写出结果）
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
解题方法
【推荐3】“云课堂”是一种完全突破时空限制的全方位互动学习模式．某地区教育部门随机抽取400名高一、高二学生对“云课堂”使用情况进行问卷调查，记Y表示喜欢，N表示不喜欢，统计结果部分数据如下两表格所示：
（表一）
（表二）
(1)请根据所提供的数据，完成上面的
列联表（表二），并判断能否依据小概率值
的独立性检验，认为“云课堂”使用情况与年级有关？
(2)用样本估计总体，将频率视为概率，在该地区高一学生和高二学生中各随机抽取4人，记事件A为“4名高一学生中恰有3人喜欢‘云课堂’”，事件B为“4名高二学生中恰有3人喜欢‘云课堂’”根据所给数据，估计
与
，并比较与的大小．
附：
（表一）
使用情况 | Y | N |
人数 | 270 | 130 |
高一学生 | 高二学生 | 合计 | |
Y | 150 | ||
N | 80 | ||
合计 |
列联表（表二），并判断能否依据小概率值的独立性检验，认为“云课堂”使用情况与年级有关？(2)用样本估计总体，将频率视为概率，在该地区高一学生和高二学生中各随机抽取4人，记事件A为“4名高一学生中恰有3人喜欢‘云课堂’”，事件B为“4名高二学生中恰有3人喜欢‘云课堂’”根据所给数据，估计
与，并比较与的大小．附：
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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