【推荐1】已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．

【推荐2】已知圆锥曲线的两个焦点坐标是，且离心率为；
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线表示曲线的轴左边部分，若直线与曲线相交于两点，求的取值范围；
（3）在条件（2）下，如果，且曲线上存在点，使，求的值．

【推荐3】已知、是双曲线：的左右焦点，经过且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行，且到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的焦距是其实轴长和的等比中项，为双曲线右支上一点，且，求的坐标．

【推荐1】已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点，过右焦点且与坐标轴都不垂直的直线与交于，两点，求证：．

【推荐2】已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.

【推荐3】已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.

【推荐2】年是“十四五”开局之年，也是中国共产党成立周年，上海市政府与国家发展和改革委员会、科技部等主办世界人工智能大会是一场领域的国际盛会，聚集上千位来自国内外的“最强大脑”，展开近百场高端论坛头脑风暴 . 某高校学生受大会展示项目启发，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图两个信号源相距米，是的中点，过的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的位置始终满足：两点同时发出信号，机器鼠接收到点的信号比接收到点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）.在时刻，测得机器鼠与点的距离为米.

(1)以为原点，直线为轴建立如图直角坐标系，求时刻机器鼠所在的坐标.
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域内运动，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？

【推荐3】对于有限集，我们以记该集合中元素的个数，若集合，集合，其中是常数，求.

【推荐1】已知双曲线C的渐近线方程为，且是双曲线上一点.
(1)求双曲线C的标准方程及离心率；
(2)过点的直线与双曲线C交于不同的两点A､B，且线段AB恰好被点M平分，求直线AB的方程.

【推荐2】已知动点P到点的距离是到直线的距离的倍，记动点P的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)过点能否作一条直线l，使得l与交于B，C两点，且A是线段BC的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若斜率为的直线与双曲线交于两个不同的点，，线段的中垂线与轴交于点，求实数的取值范围.