【推荐1】如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将沿DE，EF，DF折成正四面体，则在此正四面体中，下列说法正确的是______．

异面直线PG与DH所成的角的余弦值为；
；
与PD所成的角为；
与EF所成角为

【推荐2】为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②．有下列四个结论：
①经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为
②异面直线AD与CF所成的角的余弦值为
③直线AD与平面DEF所成的角为
④球离球托底面DEF的最小距离为

其中正确的命题是__________请将正确命题的序号都填上

【推荐3】给出下列五个命题，其中正确的命题序号是________.
①当时，函数取得最大值，则
②已知菱形，为的中点，且，则菱形面积的最大值为12
③已知二次函数，如果时，则实数的取值范围是
④在三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是
⑤数列满足，且数列的前2010项的和为403，记数列，是数列的前项和，则

【推荐1】在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）
①当时，的周长为定值
②当时，三棱锥的体积为定值
③当时，有且仅有一个点P，使得
④当时，有且仅有一个点P，使得平面

【推荐1】如图，在棱长为的正方体中，若绕旋转一周，则在旋转过程中，三棱锥的体积的取值范围为______．

【推荐2】在四棱锥中，，且，，若该四棱锥存在半径为1的内切球，则_______.

【推荐3】在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，当三角形的面积最小时，三棱锥的外接球的体积是______．

【推荐1】在矩形中，是的中点，，将沿折起得到，设的中点为，若将绕旋转，则在此过程中动点形成的轨迹长度为___________.

【推荐2】已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为______．

【推荐3】点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为__________．