已知焦点在
轴的等轴双曲线
的虚轴长为
，直线
与交于
，
两点，线段
的中点为
.
(1)若直线
过的右焦点且，都在右支，求弦长
的最小值；(2)如图所示，虚线部分为双曲线
与其渐近线之间的区域，点能否在虚线部分的区域内？请说明理由.
更新时间：2024-03-21 20:59:41
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【推荐1】已知双曲线
的左顶点为
，焦点到渐近线距离为
．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设双曲线E的右顶点为B，P为直线
上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点（异于A，B），记直线MN与x轴的交点为Q；
①求证：Q为定点；
②直线MN交直线于点D，记
．求证：
为定值．
的左顶点为，焦点到渐近线距离为．(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设双曲线E的右顶点为B，P为直线
上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点（异于A，B），记直线MN与x轴的交点为Q；①求证：Q为定点；
②直线MN交直线
于点D，记．求证：为定值．
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【推荐2】已知双曲线C
的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线
的距离为
，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.
的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.
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（a>0,b>0）的左、右焦点分别为
、
，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为
.
，证明：
、
、
成等比数列.
解答题-证明题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】已知双曲线
，动直线
与轴交于点，且与
交于
两点，
是
的等比中项，
．
(1)若两点位于
轴的同侧，求
取最小值时
的周长；
(2)若
，且两点位于轴的异侧，证明：为等腰三角形．
，动直线与轴交于点，且与交于两点，是的等比中项，．(1)若
两点位于轴的同侧，求取最小值时的周长；(2)若
，且两点位于轴的异侧，证明：为等腰三角形．
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【推荐2】已知双曲线
－
＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于
，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6
，求直线l的方程．
－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6
，求直线l的方程．
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，其中两焦点坐标为
，过
，交双曲线于
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解题方法
【推荐1】已知抛物线：
（
）的焦点为
，
为上的动点，
为在动直线
（
）上的投影.当
为等边三角形时，其面积为
.
(1)求的方程；
(2)设
为原点，过点的直线与相切，且与椭圆
交于，两点，直线
与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
：（）的焦点为，为上的动点，为在动直线（）上的投影.当为等边三角形时，其面积为.(1)求
的方程；(2)设
为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
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【推荐2】已知双曲线
（1）求直线
被双曲线截得的弦长；
（2）过点
能否作一条直线与双曲线交于
两点,且点是线段的中点？
（1）求直线
被双曲线截得的弦长；（2）过点
能否作一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点？
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的实轴长为2，且双曲线
.
的直线
两点.
时，
所满足的关系式（不要求证明）
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解题方法
【推荐1】已知双曲线：
与双曲线
有相同的渐近线，直线
被双曲线所截得的弦长为6．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，
两点，求证：以
为直径的圆恒过轴上的定点，并求此定点坐标．
：与双曲线有相同的渐近线，直线被双曲线所截得的弦长为6．(1)求双曲线
的方程；(2)过双曲线
右焦点的直线与双曲线相交于，两点，求证：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求此定点坐标．
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解题方法
【推荐2】已知双曲线
，斜率为k的直线l过点M.
(1)若
，且直线l与双曲线C只有一个交点，求k的值；(2)已知点
，直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线
的斜率分别为
，若
为定值，求实数m的值.
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的左、右焦点分别为
，过焦点
，直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点．
，使得
为锐角?若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
